Miara kąta

Miara kąta – wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach (stopniach, gradach, radianach, tysięcznych).

W życiu codziennym używa się zwykle miary stopniowej. Kąt pełny dzieli się na 360 stopni kątowych (symbol: ° ), każdy z nich na 60 minut [kątowych] (symbol: ′ ), a każdą z nich na 60 sekund [kątowych] (symbol: ″ ). Części sekund podaje się jako liczby dziesiętne. Tę właśnie miarę wykorzystuje się w popularnych kątomierzach.

W matematyce, a zwłaszcza w trygonometrii, jako jednostkę miary kąta przyjmuje się radian. Najprostsza definicja radiana to:

1 radian = kąt pełny / 2π

Jest on bardzo użyteczny w funkcjach trygonometrycznych, gdyż jako argumentów tych funkcji można używać liczb (niemianowanych) adaptowanych z miary łukowej kątów.

W praktyce militarnej i geodezyjnej stosowany bywa podział kąta pełnego na 400 gradów (lub gradusów, symbol: ^g), z których każdy dzieli się na 100 centygradów (symbol: ^c), a każdy centygrad na 100 myriogradów (symbol: ^cc). Podział taki ułatwia odręczne (pisemne) dodawanie i odejmowanie, gdyż przeniesienia i pożyczki wykonuje się jak przy zwykłych liczbach dziesiętnych, bez konieczności przeliczania stopni i minut na 60 jednostek niższej rangi.

W pomiarach nachylenia nawierzchni używa się miary procentowej (np. przy określeniu nachylenia nawierzchni drogi). Przykładowo 1% oznacza zmianę wysokości o 1 cm na 100 cm długości. Oblicza się to według wzoru:

$Nachylenie={\frac {H}{L}}\cdot 100,$ gdzie L to długość danego fragmentu stoku, a H wysokość tego fragmentu.

Miara kąta potocznie nazywana jest kątem.

Przykłady zapisu miary kąta

W mierze...	Zapis	Czytamy
stopniowej	10°23′45″76	10 stopni, 23 minuty, 45 i 76 setnych sekundy
gradowej	87g65c43cc21	87 gradów, 65 ce, 43 i 21/100 cece co oznacza 87,654321 grada

Używa się również (gł. w artylerii) jednostki zwanej tysiączną Definiuje się ją jako miarę kąta środkowego, który z okręgu o promieniu 1 km wycina łuk o długości 1 m. Tysięczna rzeczywista jest więc równa 1/1000 radiana, w przybliżeniu 1/6283,2 kąta pełnego. Spotyka się też definicje:

tysięczna artyleryjska

1 m_a = 1/6400 kąta pełnego

tysięczna Rimailho

1 m_R = 1/6000 kąta pełnego

zatem na kilometrowym okręgu:

kątowi	odpowiada łuk
1/1000 rad	100 cm
1 ma	105 cm
1 mR	98 cm

Dla porównania:

kątowi	odpowiada łuk
1′	29,09 cm
1c	15,71 cm

Porównanie miar

Argumentami funkcji trygonometrycznych pierwotnie były wartości (rozmiary) kątów. Miara łukowa kątów pozwala, by argumentami funkcji trygonometrycznych były liczby rzeczywiste. Stosowanie stopni może powodować problemy w obliczeniach trygonometrycznych.

Dla kątów bliskich zeru długość łuku okręgu jednostkowego (i kąt wyrażony w radianach) jest w przybliżeniu równa wartości funkcji sinus, stąd pochodna funkcji sinus dla $x=0$ wynosi 1. 1 jest też wartością funkcji cosinus dla $x=0.$ Okazuje się, że ogólnie:

$\sin 'x=\cos x$

$\sin ''x=-\sin x$

$\sin '''x=-\cos x$

$\sin ''''x=\sin x$

Tak jest jednak tylko dla kątów wyrażonych w radianach.

Oznaczmy na potrzeby tej sekcji funkcje sinus i cosinus dla stopni przez $\sin _{\deg }x=\sin {\tfrac {\pi }{180}}x$ oraz $\cos _{\deg }x=\cos {\tfrac {\pi }{180}}x.$

Teraz:

$\sin _{\deg }'x={\tfrac {\pi }{180}}\cos _{\deg }x$

$\sin _{\deg }''x=-{\tfrac {\pi ^{2}}{180^{2}}}\sin _{\deg }x$

$\sin _{\deg }'''x=-{\tfrac {\pi ^{3}}{180^{3}}}\cos _{\deg }x$

$\sin _{\deg }''''x={\tfrac {\pi ^{4}}{180^{4}}}\sin _{\deg }x$

We wzorach pojawiły się dodatkowe współczynniki. Takie współczynniki są różne od 1 przy każdej mierze kąta oprócz miary łukowej. Podobne utrudnienia powstałyby także w rozwinięciach funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów (omówione są tutaj) i w wielu innych miejscach w analizie matematycznej.

Miara łukowa kąta

W matematyce i jej zastosowaniach teoretycznych używa się też bezwymiarowej miary łukowej. Miara łukowa kąta wyraża wartość stosunku: długości łuku wyciętego z okręgu o środku w wierzchołku kąta do długości promienia tego okręgu. Tak określona miara wyraża się liczbą niemianowaną (bezwymiarową) i może przyjmować wartości z zakresu 0 do 2π.

Zobacz też

• pochylenie poziome trasy