Miara licząca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara liczącamiara, która przyporządkowuje zbiorowi liczbę jego elementów - gdy jest to zbiór skończony lub nieskończoność - gdy jest to zbiór nieskończony.

Miara ta pozwala sformułować kryteria zbieżności szeregów poprzez zastosowanie do ciągów twierdzeń teorii całki Lebesgue’a (m.in. o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, Fubiniego, lematu Fatou, zob. dalej).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolnym zbiorem, niech będzie zbiorem potęgowym zbioru (tj. rodziną wszystkich jego podzbiorów). Niech oznacza liczbę elementów zbioru, gdy jest on skończony.

Funkcja określona wzorem

jest miarą nazywaną miarą liczącą na zbiorze X (zob. zbiór skończony).

Przykład: Przestrzenie [edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: przestrzeń Lp.

Niech dana będzie przestrzeń funkcji określonych na zbiorze , które:

  • mają wartości skalarne
  • przyjmują co najwyżej przeliczalnie wiele niezerowych wartości
  • sumowalne w p-tej potędze, tzn. dla każdej funkcji tej przestrzeni oraz dla liczba

jest liczbą skończoną (przy czym sumowanie przebiega po miejscach niezerowych funkcji).

Z definicji widać, że na zbiorze określona została miara licząca.

Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem i czyta się: przestrzeń funkcyjna funkcji sumowalnych w -tej potędze, określonych na zbiorze .

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1 Przestrzenie są szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnych z dowolną miarą . Tw. 2 Przestrzeń jest:

  • przestrzenią unormowaną, przy czym norma zadana jest wzorem
  • przestrzenią metryczną, z metryką generowaną przez normę, tj.
  • przestrzenią metryczną zupełna, czyli przestrzenią Banacha.

Tw. 3: Przestrzenie refleksywne wtedy i tylko wtedy, gdy .

Tw. 4 (o izometrycznym izomorfizmie)

Niech , niech będzie wykładnikem sprzężonym do . Istnieje wówczas izometryczny izomorfizm

wprowadzany przez standardowe parowanie

gdzie oraz