Miara martyngałowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara martyngałowa (lub miara obojętna na ryzyko) jest podstawowym pojęciem z zakresu matematyki finansowej. Używa się jej do wyceny instrumentów bazowych oraz pochodnych na rynkach zupełnych.

Definicja[edytuj]

Niech oznacza wartość instrumentu dyskontowego w momencie , a cenę instrumentu o wypłacie zapadającego w chwili . Miarą martyngałową nazywamy taką miarę probabilistyczną, że:

  1. (miara jest równoważna rzeczywistej mierze)
  2. .

Dla rynków skończonych zachodzenie powyższego warunku dla procesów cen instrumentów bazowych jest rownoważna jego prawdziwości dla instrumentów pochodnych.

Przykłady[edytuj]

Model dwumianowy[edytuj]

Dla jednookresowego modelu CRR o własności , gdzie przyjmuje wartości oraz , a miara martyngałowa jest zdefiniowana w następujący sposób:

Warunkiem koniecznym dla braku istnienia arbitrażu jest ograniczenie na stopę procentową .

Dla -okresowego modelu CRR miara martyngałowa przyjmuje następującą postać:

Model Blacka – Scholesa[edytuj]

W klasycznym modelu Blacka – Scholesa miarą martyngałową określa równanie:

,

gdzie jest współczynnikiem dryfu, zmienności, zaś oznacza bezryzykowną stopę procentową. Proces

jest procesem Wienera w mierze martyngałowej.

Wzór ten można uzyskać po zastosowaniu twierdzenia Girsanowa.

Bibliografia[edytuj]

  • Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: SCRIPT, 2006. ISBN 83-89716-06-2.