Miara produktowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara produktowa – dla danych dwóch miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich -algebr) przyporządkowuje iloczyn ich miar.

Twierdzenie[edytuj]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami mierzalnymi oraz niech oznacza -algebrę w zbiorze , generowaną przez zbiory postaci , gdzie oraz . Jeżeli miary -skończone, to istnieje dokładnie jedna miara na , nazywana miarą produktową i oznaczana dalej symbolem , o tej własności, że

dla dowolnych , gdzie . Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób indukcyjnie rozszerzyć na dowolną skończoną liczbę miar.

Niech . Odpowiednio, dolnym i górnym cięciem zbioru wzdłuż bądź nazywa się zbiory:

,
.

Funkcje:

,

mierzalne (względem odpowiednio i ) oraz spełniona jest tzw. zasada Cavalieriego, która pozwala opisać miarę produktową wzorami:

Istnienie miary produktowej, nawet gdy któraś z miar nie jest -skończona, wynika z twierdzenia Hahna-Kołmogorowa.

Produkt dowolnej rodziny miar probabilistycznych[edytuj]

Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób rozszerzyć na dowolną rodzinę miar probabilistycznych określonych odpowiednio na przestrzeniach mierzalnych . Można udowodnić, że istnieje dokładnie jedna miara określona na -ciele produktowym

o tej własności, że

,

dla dowolnej rodziny o własności, że tylko skończona liczba zbiorów jest różna od . Iloczyn po prawej stronie rozumie się więc tu jako iloczyn tylko skończenie wielu liczb nieujemnych.

Miara w kostce Cantora[edytuj]

Niech będzie miarą w zbiorze , która zbiorom i przyporządkowuje wartość . Jeżeli jest liczbą kardynalną, to miara Haara w kostce Cantora może być uzyskana jako miara produktowa kopii miary .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]