Miara wektorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara wektorowaaddytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \mathcal{F} jest ciałem zbiorów oraz E przestrzenią unormowaną, to funkcję \nu\colon \mathcal{F}\to E, spełniającą warunek

\nu(A\cup B)=\nu(A)+\nu(B)

dla wszelkich rozłącznych zbiorów A,B\in\mathcal{F}, nazywamy miarą wektorową[1].

Jeśli \mathfrak{M} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru M, to funkcję \nu\colon \mathfrak{M}\to E nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu (A_n)_{n\in\mathbb{N}} zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała \mathfrak{M} spełniony jest warunek:

\nu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)

Wahanie i półwahanie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \nu\colon \mathcal{F}\to E jest miarą wektorową, to funkcję |\nu |\colon \mathcal{F}\to [0,\infty] określoną wzorem

|\nu|(A)=\sup\{\sum_{P\in \Pi}\|\nu(P)\|\colon \Pi\}, gdzie \Pi\subset\mathcal{F} jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że \bigcup\Pi=A.

nazywamy wahaniem miary wektorowej \nu.

Funkcję \|\nu \|\colon \mathcal{F}\to [0,\infty], określoną wzorem

\|\nu\|(A)=\sup\{|x^\star\circ \nu |(A)\colon x^\star \in E^\star, \|x^\star \|\leqslant 1\}

nazywamy półwahaniem miary wektorowej \nu.

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli \mathfrak{M} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru M, a \nu\colon \mathfrak{M}\to\mathbb{R} jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to
|\nu|=\|\nu\|=\nu^++\nu^-, gdzie \nu^+,\nu^-, to odpowiednio wahanie górne i dolne.
  • Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
  • Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
  • Jeżeli \nu jest miarą wektorową, to \|\nu\|\leqslant |\nu|.
  • Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
  • Niech \mathfrak{M}=\sigma(\mathcal{F}) (σ-ciało generowane przez ciało \mathcal{F}; porównaj: definicję). Jeśli \nu\colon \mathfrak{M}\to E jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego A\in\mathcal{F} zachodzi równość: |\nu|_{\mathcal{F}}|(A)=|\nu|(A).
  • Jeżeli wahanie miary wektorowej \nu jest miarą skończoną, to \nu jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
  • Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
  • Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Miara wektorowa (skończenie addytywna).
Niech T\colon L_{\infty}[0,1]\to X będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue'a) podzbioru A\subset [0,1] określmy odwzorowanie

\nu(A)=T(\chi_A), gdzie \chi_A jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech T\colon L_{1}[0,1]\to X będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja \nu dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego A\subset [0,1]

\|\nu(A)\|\leqslant l(A)\|T\|, gdzie l jest miarą Lebesgue'a.

Wówczas, także \|\nu\|(A)\leqslant l(A)\|T\|, co dowodzi, że \nu jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Niech \mathcal{L}|_{[0,1]} będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru [0,1] mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Funkcja \nu\colon \mathcal{L}|_{[0,1]}\to L_{\infty}[0,1] dana wzorem

\nu(A)=\chi_A, dla A\in \mathcal{L}|_{[0,1]} jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.
Niech \mathcal{F}=\{A\subseteq \mathbb{N}\colon |A|<\aleph_0 \vee |\mathbb{N}\setminus A|<\aleph_0\}. Funkcja \nu\colon \mathcal{F}\to \mathbb{R} dana wzorem

\nu(A)=\left\{\begin{array}{ll}|A|,& |A|<\aleph_0\\-|A|,& |\mathbb{N}\setminus A|<\aleph_0\end{array}\right. jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności Czytelnik znajdzie w [2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
  2. Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 1-3.