Miara wektorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara wektorowaaddytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja[edytuj]

Jeśli jest ciałem zbiorów oraz przestrzenią unormowaną, to funkcję , spełniającą warunek

dla wszelkich rozłącznych zbiorów , nazywamy miarą wektorową[1].

Jeśli jest σ-ciałem podzbiorów zbioru , to funkcję nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała spełniony jest warunek:

Wahanie i półwahanie[edytuj]

Jeżeli jest miarą wektorową, to funkcję określoną wzorem

, gdzie jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że .

nazywamy wahaniem miary wektorowej .

Funkcję , określoną wzorem

nazywamy półwahaniem miary wektorowej .

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności[edytuj]

  • Jeżeli jest σ-ciałem podzbiorów zbioru , a jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to
, gdzie , to odpowiednio wahanie górne i dolne.
  • Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
  • Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
  • Jeżeli jest miarą wektorową, to .
  • Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
  • Niech (σ-ciało generowane przez ciało ; porównaj: definicję). Jeśli jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego zachodzi równość: .
  • Jeżeli wahanie miary wektorowej jest miarą skończoną, to jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
  • Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
  • Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady[edytuj]

Miara wektorowa (skończenie addytywna).
Niech będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue'a) podzbioru określmy odwzorowanie

, gdzie jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego

, gdzie jest miarą Lebesgue'a.

Wówczas, także , co dowodzi, że jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Niech będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Funkcja dana wzorem

, dla jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.
Niech . Funkcja dana wzorem

jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności Czytelnik znajdzie w [2].

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
  2. Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 1-3.