Miara zespolona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara zespolona – szczególny przypadek przeliczalnie addytywnej miary wektorowej. Przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów, określona na pewnym σ-ciele o wartościach w zbiorze liczb zespolonych. Dla miar zespolonych, podobnie jak dla miar wektorowych, definiuje się pojęcie wahania i półwahania miary zespolonej. Wszystkie twierdzenia prawdziwe dla miar wektorowych przeliczalnie addytywnych (o wartościach w przestrzeni Banacha – gdy to założenie jest potrzebne) są prawdziwe, w szczególności, dla miar zespolonych.

Definicja[edytuj]

Jeśli jest σ-ciałem podzbiorów zbioru , to funkcję , spełniającą warunek

dla każdego ciągu zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała , nazywamy miarą zespoloną.

Postać biegunowa[edytuj]

Jeżeli jest miarą zespoloną, określoną na σ-ciele podzbiorów zbioru , to istnieje wówczas funkcja mierzalna taka, że dla oraz , gdzie oznacza wahanie miary zespolonej .

Poprzez analogię do przedstawienia liczby zespolonej w postaci iloczynu jej modułu przez liczbę o module równym , równanie to jest czasem nazywane postacią biegunową (lub rozkładem biegunowym) miary .

Bibliografia[edytuj]

  1. Rudin, W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, ISBN 83-01-05124-8