Model Hubbarda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Model Hubbardamodel w fizyce materii skondensowanej opisujący gaz elektronowy z oddziaływaniem w reprezentacji ciasnego wiązania. Hamiltonian modelu Hubbarda zawiera dwie części:

  • wyraz kinetyczny – opisującą przeskoki elektronów z początkowego węzła sieci (w ogólności) do dowolnego innego (jednak dla uproszczenia obliczeń zakłada się przeskoki do sąsiednich węzłów),
  • wyraz oddziaływania typu kulombowskiego – krótkozasięgowego ze względu na spin (w jednym węźle) – zakłada się występowania oddziaływanie elektron-elektron z charakterystyczną stałą oddziaływania oznaczaną jako U (w ogólności z dowolną wartością U: U<0 przyciąganie, U>0 odpychanie, U=0 brak oddziaływania czyli zwykły gaz fermionów).

Takie połączenie, mimo swojej prostoty, pozwala na zilustrowanie wielu zjawisk z dziedziny silnie skorelowanych fermionów, a w szczególności: przejście metal-izolator, ferromagnetyzm, antyferromagnetyzm, ciecz Luttingera czy nadprzewodnictwo. "Rozwiązywalność" modelu często jest wynikiem dodatkowych założeń, które jednak nie wpływają zbytnio na prawidłowość rozważań.

Model Hubbarda jest intensywnie eksploatowany w teorii silnie skorelowanych fermionów dla różnych parametrów oraz wymiarów. Istnieją liczne rozszerzenia modelu Hubbarda, polegające na uwzględnianiu dodatkowych wyrazów w hamiltonianie modelu (jak np. w modelu Pensona-Kolba-Hubbarda, który uwzględnia również przeskoki par elektronowych).

Hamiltonian Hubbarda[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z powyższym najogólniejszy hamiltonian modelu (w przestrzeni położeń) zapisać możemy jako:

\hat H = \sum_{ij\sigma} -t_{ij} \hat c_{j\sigma}^{\dagger} \hat c_{i\sigma}
+
\sum_i U \hat n_{i\uparrow} \hat n_{i\downarrow}

gdzie t_{ij} jest całką przeskoku, c_{i\sigma} ( c_{i\sigma}^{\dagger} ) oznacza operator anihilacji ( kreacji ) elektronu w węźle i ze spinem \sigma , natomiast U opisuje oddziaływanie pomiędzy elektronami.

Interpretacja odpowiednich wyrazów w hamiltonianie:

  • wyraz 1 : wyraz kinetyczny - elektron ze spinem \sigma jest anihilowany w węźle i-tym i kreowanym w węźle j-tym (bez zmiany spinu)
  • wyraz 2 : wyraz oddziaływania - elektrony w danym i-tym węźle ze spinem \uparrow oddziałują z elektronami ze spinem \downarrow w tym samym węźle.

Przykład W przypadku przeskoku elektronów jedynie do sąsiednich węzłów i założeniu izotropowości układu (stała całka przeskoku) otrzymujemy hamiltonian postaci:

\hat H = - t \sum_{<ij>\sigma} \hat c_{j\sigma}^{\dagger} \hat c_{i\sigma}
+
\sum_i U \hat n_{i\uparrow} \hat n_{i\downarrow}

gdzie sumowanie po <ij> oznacza sumowanie po sąsiednich węzłach sieci. W przestrzeni pędów hamiltonian przyjmuje postać:

\hat H = \sum_{k\sigma} E_{k} \hat n_{k\sigma}
+
\frac{U}{N} \sum_{klq} \hat c_{k+q \uparrow}^{\dagger} \hat c_{k \uparrow} \hat c_{l-q \downarrow}^{\dagger} \hat c_{l \downarrow}

gdzie N jest liczba węzłów sieci, natomiast E_{k} jest energią kinetyczną (relacją dyspersyjną) z pędem k, daną jako:

E_{k} = -t \sum_{\delta} \exp ( i k \cdot \delta )

gdzie \delta jest odległością między sąsiednimi węzłami sieci. Dla przykładu w sieci kwadratowej relacja ta ma postać:

E_{k} = -t \left( \cos ( a k_{x} ) + \cos ( a k_{y} ) \right)

gdzie a jest stałą sieciową natomiast k_{x} i k_{y} są składowymi pędu w kierunkach x i y.