Moduł (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: moduł liczby, moduł w teorii modeli.

Modułstruktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

Definicja[edytuj]

Niech będzie pierścieniem z jedynką. Modułem (lewostronnym) nad nazywa się taką strukturę algebraiczną , że

  • jest grupą abelową,
  • funkcja spełnia dla wszystkich oraz następujące warunki:
(1)
(2)
(3)
(4)

przy czym oznacza jedynkę pierścienia .

Działanie pierścienia na grupie[edytuj]

Jeżeli przyjąć oraz rozpatrywać funkcję to pierwszy aksjomat mówi w istocie, że odwzorowania homomorfizmami grupowymi zaś trzy pozostałe zapewniają, że jest homomorfizmem pierścienia w pierścień endomorfizmów Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. działanie grupy). W tym sensie teoria modułów uogólnia teorię reprezentacji, która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, pierścieniami grupowymi.

Rodzaje[edytuj]

Zwykle pisze się po prostu lewostronny R-moduł M lub Prawostronny -moduł lub definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn. mnożenie przez skalar jest odwzorowaniem z powyższymi aksjomatami zapisanymi ze skalarami po prawej stronie elementów Tę samą strukturę można otrzymać, zapisując mnożenie przez skalar po lewej stronie, ale zastępując warunek (3) przez

(3')

W ogólnym przypadku nie ma potrzeby tworzenia oddzielnych teorii modułów lewo- i prawostronnych – jeśli jest modułem lewostronnym (prawostronnym) nad to można go utożsamiać z modułem prawostronnym (lewostronnym) nad gdzie symbol oznacza pierścień przeciwny do tzn. zbiory i są równe, działania dodawania i elementy wyróżnione w obu pierścieniach pokrywają się, natomiast jeśli jest działaniem mnożenia dla to określa mnożenie w W dalszej części artykułu moduły lewostronne będą nazywane krótko modułami.

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie miały jedynkę (były unitarne), pomijają czwarty aksjomat powyższej definicji, a struktury powyższego rodzaju nazywają „unitarnymi modułami lewostronnymi” (bądź modułami lewostronnymi z jedynką). W tym artykule jednak, przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).

Gdy jest pierścieniem przemiennym, to warunki (3) i (3') są równoważne – wówczas mówi się po prostu o module nad Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się bimodułem.

Podmoduły i homomorfizmy[edytuj]

Niech będzie lewostronnym -modułem, a podgrupą w Wtedy jest podmodułem (lub dokładniej: -podmodułem), jeżeli

dla wszystkich oraz

Zbiór podmodułów danego modułu wraz z dwoma działaniami dwuargumentowymi: dodawaniem kompleksowym oraz przekrojem zbiorów jest kratą spełniające następujące prawo modularności:

dla danych podmodułów modułu takich, że zachodzi równość podmodułów:

Niech i będą lewostronnymi -modułami. Przekształcenie jest homomorfizmem -modułów, jeżeli dla dowolnych oraz zachodzi

Tak jak jakikolwiek inny homomorfizm struktury algebraicznej, przekształcenie to zachowuje strukturę obiektów. Bijektywny homomorfizm modułów jest ich izomorfizmem, które nazywane są przy tym przekształceniu izomorficznymi. Dwa izomorficzne moduły są uważane za identyczne we wszystkich zastosowaniach różniąc się jedynie sposobem zapisu elementów.

Jądro homomorfizmu modułów jest podmodułem składającym się ze wszystkich elementów przekształcanych przez na zero. Twierdzenie o izomorfizmie znane z teorii grup i przestrzeni liniowych zachodzi również dla -modułów.

Lewostronne -moduły z ich homomorfizmami tworzą kategorię oznaczaną Jest to kategoria abelowa.

Przykłady[edytuj]

Grupa abelowa 
Jeśli jest grupą abelową (w zapisie addytywnym), to jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych Iloczyn (lewostronny) elementu przez skalar zdefiniowany jest jako
.
Podmoduły modułów tego rodzaju są podgrupami grupy .
Przestrzeń liniowa 
Jeśli jest przestrzenią liniową nad ciałem to jest modułem nad z odwzorowaniem strukturalnym gdzie Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem jest przestrzenią liniową nad Podmodułami przestrzeni liniowych są podprzestrzenie liniowe.
Ideał 
Jeśli jest (lewostronnym) ideałem pierścienia to jest także modułem (lewostronnym) nad (gdzie mnożenie przez skalary jest mnożeniem w pierścieniu ).
Moduł nad pierścieniem wielomianów 
Niech oznacza przestrzeń liniową nad ciałem zaś będzie przekształceniem liniowym. Wtedy jest modułem nad pierścieniem wielomianów z działaniem moduł ten oznacza się czasem symbolem Podmoduły w to podprzestrzenie niezmiennicze względem
Moduł nad pierścieniem endomorfizmów 
Przestrzeń liniowa nad ciałem jest modułem nad swoim pierścieniem endomorfizmów z działaniem mnożenia danym jako ewaluacja endomorfizmu na wektorze tzn. zdefiniowanym wzorem

Moduł półprosty[edytuj]

Sumę minimalnych nietrywialnych podmodułów modułu nad pierścieniem oznacza się (od ang. socle, dosł. cokół), bądź krócej

W szczególności moduł jest półprosty (całkowicie przywiedlny) wtedy i tylko wtedy, gdy Składa się on dokładnie z tych elementów, które są anihiliowane przez radykał

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. T. 49. Warszawa: 1978, s. 88n, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Serge Lang: Algebra. Ryszard Bittner (tłum.). Warszawa: 1973, s. 92.
  • Witold Więsław: Grupy, pierścienie, ciała. Wrocław: 1977, s. 284.
  • Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: 1978, s. 19.