Moduł (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: moduł liczby, moduł w teorii modeli.

Modułstruktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; wynikało to z następujących dwóch obserwacji, które doprowadziły ostatecznie do przyjęcia współcześnie stosowanej definicji:

  • Dowolną grupę abelową można przekształcić w pierścień przemienny przyjmując dla wszystkich ten pierścień zerowy (jak każdy pierścień tego rodzaju) nie ma jedynki. W ten sposób każda podgrupa grupy jest ideałem pierścienia
  • Niech będzie pierścieniem przemiennym, jego podpierścieniem. Niepusty podzbiór zbioru o własnościach: (a) jeśli to (b) jeśli oraz to nazywa się -modułem w Dowolny ideał w jest -modułem; w szczególności ideały są dokładnie tymi podzbiorami które są -modułami (zob. Przykłady).

O ile chodzi tylko o elementy w tak zdefiniowanym pojęciu modułu wykorzystywane jest jedynie dodawanie; mnożenie ma miejsce tylko między elementami oraz

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie pierścieniem z jedynką. Modułem (lewostronnym) nad nazywa się taką strukturę algebraiczną , że

  • jest grupą abelową,
  • funkcja spełnia dla wszystkich oraz następujące warunki:
(1)
(2)
(3)
(4)

przy czym oznacza jedynkę pierścienia .

Działanie pierścienia na grupie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli przyjąć oraz rozpatrywać funkcję to pierwszy aksjomat mówi w istocie, że odwzorowania homomorfizmami grupowymi zaś trzy pozostałe zapewniają, że jest homomorfizmem pierścienia w pierścień endomorfizmów Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. działanie grupy). W tym sensie teoria modułów uogólnia teorię reprezentacji, która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, pierścieniami grupowymi.

Rodzaje[edytuj | edytuj kod]

Zwykle pisze się po prostu lewostronny R-moduł M lub Prawostronny -moduł lub definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn. mnożenie przez skalar jest odwzorowaniem z powyższymi aksjomatami zapisanymi ze skalarami po prawej stronie elementów Tę samą strukturę można otrzymać, zapisując mnożenie przez skalar po lewej stronie, ale zastępując warunek (3) przez

(3')

W ogólnym przypadku nie ma potrzeby tworzenia oddzielnych teorii modułów lewo- i prawostronnych – jeśli jest modułem lewostronnym (prawostronnym) nad to można go utożsamiać z modułem prawostronnym (lewostronnym) nad gdzie symbol oznacza pierścień przeciwny do tzn. zbiory i są równe, działania dodawania i elementy wyróżnione w obu pierścieniach pokrywają się, natomiast jeśli jest działaniem mnożenia dla to określa mnożenie w W dalszej części artykułu moduły lewostronne będą nazywane krótko modułami.

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie miały jedynkę (były unitarne), pomijają czwarty aksjomat powyższej definicji, a struktury powyższego rodzaju nazywają „unitarnymi modułami lewostronnymi” (bądź modułami lewostronnymi z jedynką). W tym artykule jednak, przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).

Gdy jest pierścieniem przemiennym, to warunki (3) i (3') są równoważne – wówczas mówi się po prostu o module nad Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się bimodułem.

Podmoduły i homomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: Prawo modularności.

Niech będzie lewostronnym -modułem, a podgrupą w Wtedy jest podmodułem (lub dokładniej: -podmodułem), jeżeli

dla wszystkich oraz

Zbiór podmodułów danego modułu wraz z dwoma działaniami dwuargumentowymi: dodawaniem kompleksowym oraz przekrojem zbiorów jest kratą spełniające następujące prawo modularności:

dla danych podmodułów modułu takich, że zachodzi równość podmodułów:

Niech i będą lewostronnymi -modułami. Przekształcenie jest homomorfizmem -modułów, jeżeli dla dowolnych oraz zachodzi

Tak jak jakikolwiek inny homomorfizm struktury algebraicznej, przekształcenie to zachowuje strukturę obiektów. Bijektywny homomorfizm modułów jest ich izomorfizmem, które nazywane są przy tym przekształceniu izomorficznymi. Dwa izomorficzne moduły są uważane za identyczne we wszystkich zastosowaniach różniąc się jedynie sposobem zapisu elementów.

Jądro homomorfizmu modułów jest podmodułem składającym się ze wszystkich elementów przekształcanych przez na zero. Twierdzenie o izomorfizmie znane z teorii grup i przestrzeni liniowych zachodzi również dla -modułów.

Lewostronne -moduły z ich homomorfizmami tworzą kategorię oznaczaną Jest to kategoria abelowa.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Grupa abelowa 
Jeśli jest grupą abelową (w zapisie addytywnym), to jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych Iloczyn (lewostronny) elementu przez skalar zdefiniowany jest jako
.
Podmoduły modułów tego rodzaju są podgrupami grupy .
Przestrzeń liniowa 
Jeśli jest przestrzenią liniową nad ciałem to jest modułem nad z odwzorowaniem strukturalnym gdzie Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem jest przestrzenią liniową nad Podmodułami przestrzeni liniowych są podprzestrzenie liniowe.
Ideał 
Jeśli jest (lewostronnym) ideałem pierścienia to jest także modułem (lewostronnym) nad (gdzie mnożenie przez skalary jest mnożeniem w pierścieniu ).
Moduł nad pierścieniem wielomianów 
Niech oznacza przestrzeń liniową nad ciałem zaś będzie przekształceniem liniowym. Wtedy jest modułem nad pierścieniem wielomianów z działaniem moduł ten oznacza się czasem symbolem Podmoduły w to podprzestrzenie niezmiennicze względem
Moduł nad pierścieniem endomorfizmów 
Przestrzeń liniowa nad ciałem jest modułem nad swoim pierścieniem endomorfizmów z działaniem mnożenia danym jako ewaluacja endomorfizmu na wektorze tzn. zdefiniowanym wzorem

Moduł półprosty[edytuj | edytuj kod]

Sumę minimalnych nietrywialnych podmodułów modułu nad pierścieniem oznacza się (od ang. socle, dosł. cokół), bądź krócej

W szczególności moduł jest półprosty (całkowicie przywiedlny) wtedy i tylko wtedy, gdy Składa się on dokładnie z tych elementów, które są anihiliowane przez radykał

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. T. 49. Warszawa: 1978, s. 88n, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Serge Lang: Algebra. Ryszard Bittner (tłum.). Warszawa: 1973, s. 92.
  • Witold Więsław: Grupy, pierścienie, ciała. Wrocław: 1977, s. 284.
  • Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: 1978, s. 19.