Moduł dualny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Moduł dualnymoduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych[a], elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem (por. Przykłady).

Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.

Definicja[edytuj]

Niech będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym Zbiór wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych) sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do względem [b]. Jeśli to nazywa się po prostu modułem dualnym do bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej czyli modułu nad ciałem zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem [c].

Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej będzie zapisywane po prostu

Sumy i produkty proste[edytuj]

Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów: [d]. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm [e][f]. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie będące iniekcją[g], które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).

Dowolny skończenie generowany moduł wolny nad rangi ma postać Moduł dualny do niego również jest tej postaci[h][i]; jeśli jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to nie musi być wolny[j].

Bazy dualne[edytuj]

Niech wtedy też (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy w sprawia, że każda forma liniowa jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy odwzorowując w element – jest to zanurzenie które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element ): jeśli są rzutami względem bazy na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy oznacza to, że jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę

Bazą dualną do bazy modułu nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami (wyżej: ). Wspomniane formy liniowe wyznaczone są za pomocą warunków:

gdzie jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.

Dwukrotna dualność[edytuj]

 Zobacz też: transformacja naturalna.

W powyższym przypadku izomorfizm między a zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem a modułem modułem nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu

Element jest przekształceniem liniowym Obliczenie wartości dla dowolnego elementu jest przekształceniem które jest liniowe,

wprost z definicji. Niech będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy Przekształcenie dane wzorem jest addytywne, gdyż

czyli (kluczowe jest, iż elementy są addytywne!); podobnie co oznacza, że odwzorowanie jest przekształceniem liniowym dla dowolnego modułu – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.

Jeśli jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne jest izomorfizmem[k], które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą dualną do bazy dualnej modułu dualnego jest baza istotnie:

Moduły dla których istnieje izomorfizm (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.

Przekształcenia dualne[edytuj]

Niech będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na w formy liniowe na mianowicie: jeśli to Odwzorowanie dane wzorem

jest liniowe[l] – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do [m].

Przekształcenie nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem również jest liniowe[n], a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność[o] oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli oraz są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne do złożenia dane jest wzorem [p]. Wynika stąd, że jeżeli jest izomorfizmem modułów, to jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto [q].

Jeśli są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie jest izomorfizmem[r][s], a każde przekształcenie liniowe można utożsamiać z poprzez izomorfizm naturalny[t][u]. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio oraz przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno oraz to macierze typu oraz typu reprezentujące i w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej[v].

Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem kolejno oraz dla dowolnych macierzy dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.

Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli jest „na”, to jest „1-1”[w]. Jeśli jest różnowartościowe, to można postrzegać jako podmoduł tzn. dla przekształcenie jest z tego punktu widzenia zawężeniem do podmodułu Fakt, iż odwzorowanie jest „na” oznacza, że każda forma liniowa jest postaci co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe można przedłużyć do przekształcenia liniowego a więc ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu przedłużają się do elementów modułu dualnego do W ogólności własność ta nie zachodzi[x]; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne – jest ciałem: niech będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem wtedy jeśli przekształcenie jest „1-1”, to jest „na”[y] – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli dla modułów jest „1-1”, a jest składnikiem prostym to jest „na”[z][aa].

Przestrzenie liniowe[edytuj]

Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).

Jeśli przestrzeń liniowa jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż

co oznacza, że w ogólności nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną (zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.

W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe nad ciałami liczb rzeczywistych lub zespolonych Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na

Przykłady[edytuj]

Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej są rzuty na współrzędne standardowe:

Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego dana będzie forma wzorem

Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc będące wektorami bazy standardowej Izomorfizm ustala przekształcenie tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi[ab]. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem (wystarczy wyżej zamienić „wektor” na „element” oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności jest izomorficzny z w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe jest postaci dla danego [ac].

Niech tj. rozważane -moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej jej -dualną do niej jest Jeśli to można utożsamiać z za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli będzie traktowana jako -moduł, to jest trywialny[ad]; traktując z kolei jako przestrzeń -liniową otrzymuje się nietrywialną [ae] – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli jest skończoną grupą abelową, to jej -dualna jest zerowa[af][ag]; przykładowo: jeśli to a ponieważ z pierwszego przykładu, to składa się z funkcji dla różnych (por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).

Niech będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków a będzie ideałem w Wówczas można interpretować jako [ah]. Jeżeli zaś jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ są w niej względnie pierwsze, to

tj. jedynymi przekształceniami -liniowymi są mnożenia dla

Niech a baza dualna przestrzeni liniowej do bazy standardowej przestrzeni -liniowej jest postaci [ai]. Niech odwzorowanie dane będzie wzorem jest ono -liniowe, przy czym oraz W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny) przekształcenie reprezentowane jest za pomocą macierzy Macierzą w bazie przestrzeni jest macierz transponowana do macierzy odwzorowania [aj] (zob. macierz przekształcenia liniowego).

Jeśli zaś oraz a ponadto dane jest wzorem to odwzorowanie dane wzorem należy do przestrzeni dualnej do a złożenie które przeprowadza na należy do przestrzeni dualnej do – złożeniem tym jest

Niech będzie ciałem skończonym (np. dla liczby pierwszej ), a zbiór będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku: w ten sposób jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz to jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne (a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Tzn. modułów, w których można wskazać skończoną bazę; odpowiedników skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych, w których skalary tworzą pierścień, a nie ciało (zob. Sumy i produkty proste).
  2. Jeśli nie byłby przemienny, to wzór definiuje przekształcenie które nie musi być liniowe.
  3. Niekiedy spotyka się oznaczenie
  4. Jeśli to dane wzorami umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego wzorem Na odwrót, jeśli to przekształcenie dane wzorem definiuje formę Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego odwrotnego do powyższego.
  5. Jeśli tzn. to można postrzegać jako podmoduł w standardowy sposób; wówczas zawężenie jest przekształceniem liniowym należącym do produktu przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego danego wzorem Niech dla dowolnego dany będzie wzorem Suma ta jest skończona, gdyż należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie (wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do Stąd odwzorowanie jest przekształceniem liniowym odwrotnym do skonstruowanego na początku.
  6. W przytoczonym dowodzie nie istotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać: Przyjęcie daje pierwotne stwierdzenie.
  7. Niech a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe w produkt prosty wzorem przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja jest odwzorowaniem liniowym z w – jest ono iniektywne, gdyż można odzyskać z przyjmując gdzie wszystkie współrzędne poza -tą równą są zerowe.
  8. Przypadek dający jest trywialny: wówczas gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym jest forma zerowa.
  9. Jeżeli to Jeśli jest izomorfizmem, to izomorfizm dany jest poprzez gdzie jest formą liniową, a izomorfizm ma postać
  10. Niech zaś będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas jest izomorficzny z który nie jest -modułem wolnym. Jeśli byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych że najwyższa potęga dzieląca dąży do dla (przykładami są czy jak również dowolny ciąg, dla którego dla dużych wszystkich kontrprzykładem jest ). Niech ma -tą współrzędną równą a pozostałe równe Elementy te nie tworzą bazy gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje w generują a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę skąd ma przeliczalny wymiar nad Jeżeli byłby wolny, to niech oznacza -bazę modułu wówczas czyli Ponieważ ma przeliczalny wymiar nad to zbiór wskaźników (dla ) również musi być przeliczalny, a więc ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów co daje przeliczalność Z drugiej jednak strony funkcja dana wzorem jest iniektywna, a więc jest nieprzeliczalny, gdyż jest nieprzeliczalny. Stąd nie jest wolny, a co za tym idzie również.
  11. Niech będzie bazą a będzie stowarzyszoną z nią bazą Każdy niezerowy element ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem dla pewnego Stąd co oznacza, że jest niezerowym elementem Tym samym jedynym dla którego jest zerem w jest element skąd wynika, że dane odwzorowanie jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element jest pewnym niech należy wskazać dla którego tj. dla dowolnego Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na to wystarczy wyznaczyć które spełnia to równanie dla przebiegającego bazę dualną która rozpina Niech oraz Wówczas czyli co oznacza, że dane przekształcenie jest suriektywne.
  12. Jeśli i to
    Ponadto dla zachodzi
    Równości te zachodzą dla dowolnego zatem oraz należą do
  13. Jeśli oraz oznaczają odpowiednio parowania modułów z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości (por. sprzężenie hermitowskie).
  14. Należy wykazać, że dla zachodzi tzn. dla dowolnego Obie strony tej równości należą do zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego Zachodzi
    oraz
    przy czym równości spełnione są dla dowolnego czyli należą do a stąd obie strony równości oraz mają tę samą wartość dla każdego skąd należy do Analogicznie dowodzi się dla oraz
  15. Ponieważ a więc Stąd też dla dowolnego
  16. Dla oraz zachodzi
    Z równości dla wszystkich wynika, dla wszystkich skąd należy do
  17. Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości oraz przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń i w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych.
  18. Skoro są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę w bazę co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy odpowiednio modułów Bazę tworzą funkcje gdzie oraz dla tj. Przekształcenia dualne tworzą podobną bazę: w działaniu na bazę dualną dla dowolnego wektora bazowego przyjmuje postać
    gdy to zachodzi dalsza równość (w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też oraz dla a więc funkcje tworzą bazę.
  19. Jeśli to i są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy jest skończenie generowany i wolny.
  20. Zastosowanie kolejno izomorfizmu oraz do dowolnie wybranego elementu daje element należący do Z drugiej strony przyłożenie do przekształcenia a następnie izomorfizmu daje Ponieważ dla dowolnego zachodzi
    to z faktu, iż równość ta zachodzi dla dowolnego to można utożsamiać z
  21. Założenia o skończonym generowaniu i wolności modułów potrzebne są jedynie do zapewnienia, iż odwzorowania naturalne i są izomorfizmami – w istocie wystarczy więc założenie refleksywności wspomnianych modułów.
  22. Należy wykazać, że niech i będą izomorfizmami wyrażającymi elementy modułów w odpowiednich bazach, podobnie niech dane będą oraz Macierze i są realizacjami przekształceń i w wybranych bazach, tj. oraz dla i Ponieważ jest -tym wektorem bazy standardowej to -tą kolumną jest ponieważ -tą składową tego wektora współrzędnych w jest gdyż jest -tym wektorem bazy Wynika stąd, że -tym elementem macierzy jest Z drugiej strony -tą kolumną jest gdyż jest -tym wektorem bazy standardowej a z powyższej obserwacji wynika, że Funkcje współrzędnych na względem są bazą dualną do tej bazy dualnej, co oznacza, że należą one do pierwotnej bazy przy utożsamieniu poprzez przekształcenie naturalne. W ten sposób -tą współrzędną wektora jest z definicji jest zaś a więc -ty element jest równy -temu elementowi co oznacza, że
  23. Należy pokazać, że dla oraz zachodzi Z definicji jest jako funkcja a więc dla wszystkich Ponieważ jest „na”, to skąd jako forma na
  24. Niech oraz zaś będzie zanurzeniem naturalnym. Forma dana wzorem jest liniowa, tj. Fakt, iż należy do obrazu oznacza, że przedłuża się (za pomocą ) do pewnej funkcji na oznaczanej dalej Zachodzi co oznacza, że nie ma rozwiązania w a więc nie istnieje. Istotnie, do obrazu należą te elementy których obrazem w jest moduł można zastąpić tu dla dowolnego
  25. Przypadki są trywialne. Ponieważ przestrzenie liniowe określone są nad ciałami, to podprzestrzeń ma dopełnienie proste w wybierając bazę w i rozszerzając ją do bazy można zapisać gdzie jest pewną podprzestrzenią (rozpinaną przez rozszerzenie bazy). Dowolna forma liniowa może być rozszerzona do formy poprzez rzutowanie z na zgodnie z powyższym rozkładem na sumę prostą, a następnie przyłożenie wybranej formy na Rozumowanie przedstawione we wprowadzeniu do twierdzenia pokazuje, iż jest „na”. Dowód można zakończyć także w następujący sposób: niech będzie rzutem złożonym z funkcją odwrotną do (istnieje, gdyż z na jest „1-1”, a więc wzajemnie jednoznaczna), tj. jest ono liniowe oraz Dualizacja daje co oznacza, że jest „na”, gdyż dla każdego zachodzi
  26. Własność dla pewnego podmodułu uzyskana w powyższym dowodzie dla przestrzeni liniowych za pomocą baz, przyjęta jako założenie umożliwia powtórzenie powyższego dowodu w przypadku modułów.
  27. Podany wyżej kontrprzykład korzysta z faktu, iż nie jest składnikiem prostym
  28. Funkcje są liniowe, zatem należą do co więcej, ponieważ oraz dla każdego to odwzorowanie w jest przekształceniem liniowym Jest ono iniektywne, gdyż jeśli należy do to wtedy dla każdego z kolei wzięcie daje Aby pokazać suriektywność należy wybrać wówczas dla każdego należącego do jest gdzie czyli dla tego wyboru
  29. Izomorfizm opisuje wzór a w drugą stronę –
  30. Jeśli to dla dowolnego liczba całkowita spełnia gdzie co oznacza, że jest podzielne przez dowolnie wysokie potęgi Zatem dla wszystkich a więc
  31. Która jest w istocie izomorficzna z
  32. Gdyż homomorfizm grup przeprowadza elementy skończonego rzędu na elementy skończonego rzędu a jedynym takim elementem tej grupy jest
  33. Tego rodzaju dualność nie zdradza nic na temat struktury skończonej grupy abelowej – z tego powodu wprowadza się osobne pojęcie grupy dualnej (w sensie Pontriagina): czyli zbiór homomorfizmów z w grupę okręgu z mnożeniem jako działaniem grupowym; znajduje ono zastosowanie podczas badania charakterów na skończonych grupach abelowych. Dualność Pontriagina stanowi kluczowy element analizy fourierowskiej na lokalnie zwartych grupach abelowych będących uogólnieniem skończonych grup abelowych.
  34. Dla każdego funkcja jest przekształceniem liniowym W drugą stronę, niech będzie formą liniową. Dla ustalonego zachodzi czyli dla dla każdego Stąd czyli każdy element powstaje w ten sposób.
  35. Gdyż są to funkcje współrzędnych dla bazy standardowej, tj. i dla rzeczywistych a więc jest funkcją części rzeczywistej, a jest funkcją części urojonej.
  36. Należy wyrazić i w bazie dualnej: skoro wyrazy te odpowiednio są równe oraz to należy wyznaczyć części rzeczywistą i urojoną wartości odwzorowania Ponieważ dla każdego jest
    to część rzeczywista wynosi podczas gdy jej część urojona to co oznacza, iż oraz

Bibliografia[edytuj]

  • A.I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  • H.G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, s. 25, seria: London Mathematical Society Monographs. ISBN 0-19-850013-0.