Moduł ilorazowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Moduł ilorazowy – struktura tworzona dla dowolnego modułu i jego podmodułu. Konstrukcja opisana niżej jest analogiczna do otrzymywania pierścienia liczb całkowitych modulo n (zobacz: arytmetyka modularna). W ten sam sposób powstają też grupa ilorazowa i pierścień ilorazowy.

Definicja[edytuj]

Niech dany będzie (lewostronny) moduł nad pierścieniem oraz podmoduł tego modułu. Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest za pomocą następującej relacji równoważności:

wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnych . Elementami są klasy abstrakcji postaci

.

Działanie dodawania w określone jest dla dwóch klas równoważności jako klasa równoważności sumy dwóch reprezentantów tych klas; podobnie definiuje się iloczyn przez elementy z . Tym sposobem przestrzeń ilorazowa sama staje się modułem nad nazywanym modułem ilorazowym. Symbolicznie:

i

dla dowolnych oraz .

Dla modułu i podmodułu

Moduł ilorazowy to przestrzeń klas bstrakcji działaniami określonymi powyżej.

Przykłady[edytuj]

Niech dany będzie pierścień liczb rzeczywistych i -moduł , czyli pierścień wielomianów o rzeczywistych współczynnikach. Rozważmy podmoduł

modułu , to jest podmoduł wszystkich wielomianów podzielnych przez . Okazuje się, że relacją równoważności określoną przez ten moduł jest

wtedy i tylko wtedy, gdy oraz dają tę samą resztę z dzielenia przez .

Dlatego w module ilorazowym wielomian będzie tym samym co i stąd może być on postrzegany jako otrzymany z przez utożsamienie . Moduł ilorazowy jest izomorficzny z liczbami zespolonymi postrzeganymi jako moduł nad liczbami rzeczywistymi .

Własności[edytuj]

  • Moduł ilorazowy jest obrazem homomorficznym modułu przez homomorfizm o jądrze dany wzorem
.

Odwzorowanie jest nazywane projekcją modułu na moduł ilorazowy .

  • Twierdzenie o izomorfizmie: dla dwóch podmodułów modułu prawdziwe jest
    .
dla podmodułu zachodzi
.
  • Istnieje kanoniczna odpowiedniość pomiędzy klasą izomorfizmów monomorfizmów w a klasą izomorfizmów epimorfizmów z ; monomorfizm odpowiada modułowi ilorazowemu , a epimorfizm odpowiada podmodułowi .
  • Jeżeli moduł jest skończenie generowany lub ma skończoną długość, to taki jest też jego dowolny moduł ilorazowy.
  • Jeżeli jest -algebrą (łączną, z jedynką), to
    ,
gdzie jest obrazem w .
  • Jeżeli jest (obustronnym) ideałem w , to moduł ilorazowy jest tym samym co pierścień ilorazowy .