Modular

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Modular - rodzaj funkcjonału na rzeczywistej przestrzeni liniowej. Pojęcie modularu służy do zdefiniowania tzw. przestrzeni modularnych, których szczególnym przypadkiem są przestrzenie Orlicza.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest rzeczywistą przestrzenią liniową, to odwzorowanie nazywamy modularem (w przestrzeni ) gdy dla wszystkich oraz wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych takich, że spełnione są warunki

  1. wtedy i tylko wtedy, gdy ,
  2. ,
  3. .

Jeśli zamiast warunku 3 spełniony jest warunek

3' ,

to odwzorowanie nazywamy modularem wypukłym.

Jeśli jest modularem w przestrzeni , to zbiór tych elementów , dla których

nazywamy przestrzenią modularną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń modularna jest podprzestrzenią liniową przestrzeni .
  • Jeśli jest modularem wypukłym w przestrzeni , to odwzorowanie dane wzorem
jest normą w przestrzeni .
  • Jeśli jest przestrzenią unormowaną, to norma jest modularem wypukłym w tej przestrzeni.

Ciągi Cauchy'ego w przestrzeniach modularnych[edytuj | edytuj kod]

Dla przestrzeni modularnych definiuje się pojęcie analogiczne do ciągu Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej:

  • Niech będzie przestrzenią modularną. Ciąg punktów tej przestrzeni nazywamy ciągiem Cauchy'ego (w przestrzeni modularnej ), gdy dla każdej liczby oraz każdego istnieje taka liczba , że dla wszystkich
.
  • Przestrzeń nazywamy -zupełną, gdy dla każdego ciągu Cauchy'ego punktów tej przestrzeni istnieje , że

dla każdego .

Okazuje się, że jeśli jest modularem wypułym to ciąg punktów przestrzeni modularnej jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni modularnej wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni unormowanej .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Musielak, Julian: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976. ss 97-99