Modular

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Modular – rodzaj funkcjonału na rzeczywistej przestrzeni liniowej. Pojęcie modularu służy do zdefiniowania tzw. przestrzeni modularnych, których szczególnym przypadkiem są przestrzenie Orlicza.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest rzeczywistą przestrzenią liniową, to odwzorowanie nazywamy modularem (w przestrzeni ) gdy dla wszystkich oraz wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych takich, że spełnione są warunki

  1. wtedy i tylko wtedy, gdy

Jeśli zamiast warunku 3 spełniony jest warunek

3'

to odwzorowanie nazywamy modularem wypukłym.

Jeśli jest modularem w przestrzeni to zbiór tych elementów dla których

nazywamy przestrzenią modularną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń modularna jest podprzestrzenią liniową przestrzeni
  • Jeśli jest modularem wypukłym w przestrzeni to odwzorowanie dane wzorem
jest normą w przestrzeni
  • Jeśli jest przestrzenią unormowaną, to norma jest modularem wypukłym w tej przestrzeni.

Ciągi Cauchy’ego w przestrzeniach modularnych[edytuj | edytuj kod]

Dla przestrzeni modularnych definiuje się pojęcie analogiczne do ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej:

  • Niech będzie przestrzenią modularną. Ciąg punktów tej przestrzeni nazywamy ciągiem Cauchy’ego (w przestrzeni modularnej ), gdy dla każdej liczby oraz każdego istnieje taka liczba że dla wszystkich
  • Przestrzeń nazywamy -zupełną, gdy dla każdego ciągu Cauchy’ego punktów tej przestrzeni istnieje że

dla każdego

Okazuje się, że jeśli jest modularem wypułym to ciąg punktów przestrzeni modularnej jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni modularnej wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni unormowanej

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Musielak, Julian: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 97–99.