Moment Zernikego

Momenty Zernikego – współczynniki rozwinięcia funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych (najczęściej reprezentującej obraz) względem wielomianów Zernikego. Nazwa moment jest tu użyta w analogii do definicji klasycznych momentów.

Definicja

Moment zespolony

Moment Zernikego rzędu $n,m$ funkcji $f(x,y)$ definiuje się jako:

$A_{nm}={\frac {n+1}{\pi }}\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant 1}f(x,y){\overline {V_{n}^{m}(\rho ,\theta )}}\ dxdy,$

gdzie:

$n$ jest liczbą naturalną,

$m$ jest liczbą całkowitą taką, że $0\leqslant |m|\leqslant n,$ oraz $n-|m|$ jest parzyste

$\rho ,\theta$ są współrzędnymi biegunowymi punktu $(x,y),$ czyli:$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ $\theta =\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right),$

$V_{n}^{m}(\rho ,\theta )$ jest zespolonym wielomianem Zernikego,

${\overline {V_{n}^{m}(\rho ,\theta )}}$ oznacza sprzężenie liczby zespolonej.

Moment rzeczywisty

Ze względu na to, iż funkcje obrazów są funkcjami rzeczywistymi, wygodnie jest korzystać z pary rzeczywistych momentów Zernikego:

$C_{nm}={\frac {2(n+1)}{\pi }}\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant 1}f(x,y)R_{n}^{m}(\rho )\ \cos(m\theta )\ dxdy,$

$S_{nm}={\frac {2(n+1)}{\pi }}\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant 1}f(x,y)R_{n}^{m}(\rho )\ \sin(m\theta )\ dxdy,$

gdzie:

$R_{n}^{m}$ jest wielomianem radialnym.

Rzeczywiste i zespolone momenty Zernikego są powiązane zależnościami:

$C_{nm}=2\Re (A_{nm}),$

$S_{nm}=-2\Im (A_{nm}),$

$A_{nm}={\overline {A_{n,-m}}}.$

Własności

Rekonstrukcja obrazu

Mając dane momenty Zernikego, możemy rekonstruować obraz z dowolną dokładnością:

${\hat {f}}(x,y)=\sum _{n=0}^{n_{\max }}\sum _{m}A_{nm}V_{n}^{m}(\rho ,\theta ).$

Przykłady rekonstrukcji

Obraz oryginalny	Obraz zrekonstruowany
	$n_{\max }=5$	$n_{\max }=10$	$n_{\max }=15$	$n_{\max }=20$

Momenty obrazu obróconego

Rozważmy wersję obrazu $f(x,y)$ obróconą o kąt $\alpha$ względem jego środka. Można to opisać jako:

$f^{\alpha }(x,y)=f^{\alpha }(\rho ,\theta )=f(\rho ,\theta -\alpha ).$

Wówczas moment n,m takiego obrazu wyniesie:

$A_{nm}^{\alpha }=A_{nm}\exp(-im\alpha ).$

Momenty obrazu odbitego

Rozważmy wersję obrazu $f(x,y)$ odbitą względem prostej przechodzącej przez środek obrazu pod kątem $\beta .$ Można to opisać jako:

$f^{\beta }(x,y)=f^{\beta }(\rho ,\theta )=f(\rho ,2\beta -\theta ).$

Wówczas moment n,m takiego obrazu wyniesie:

$A_{nm}^{\beta }={\overline {A_{nm}}}\exp(-i2m\beta ).$

Zastosowanie

Ze względu na wymienione właściwości, momenty Zernikego mogą służyć do wyznaczania cech obrazu, które są niezależne od jego obrotu i odbicia. Cechy takie mogą służyć w zadaniu rozpoznawania wzorców.

Bibliografia

• A. Khotanzad, Y.H. Hong: Rotation invariant image recognition using features selected via a systematic. Pattern Recognition method vol. 23. 1990.brak strony w książce
• Thomas H. Reiss: Recognizing Planar Objects Using Invariant Image Features. Lecture Notes in Computer Science, vol. 676. Springer-Verlag, 1993.brak strony w książce