Monadyczna algebra Boole’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Monadyczna algebra Boole’aalgebra Boole’a z dodatkowym działaniem jednoargumentowym , które spełnia pewne warunki naśladujące własności kwantyfikatora egzystencjalnego.

Definicja[edytuj]

Monadyczna algebra Boole’a to struktura algebraiczna taka, że:

  • jest algebrą Boole’a,
  • funkcja spełnia następujące warunki dla wszystkich :

Pojęcie monadycznych algebr Boole’a pierwszy wprowadził Paul Halmos. Według niego motywacją do badań tych algebr było pragnienie lepszego rozumienia pewnych aspektów logiki matematycznej.

Elementy domknięte[edytuj]

Operacja jest idempotentna: dla każdego zachodzi , ponieważ .

Elementy spełniające (innymi słowy wartości funkcji ) nazywa się elementami domkniętymi. Zbiór elementów domkniętych jest podalgebrą Boole’a algebry .

Zbiór elementów domkniętych zawiera pełną informację o funkcji , dlatego możliwe jest jej odtworzenie na podstawie tego zbioru: niech , wtedy .

Przykłady[edytuj]

p = 1[edytuj]

Niech będzie algebrą Boole’a. Funkcja zdefiniowana wzorem

dla każdego

umożliwia określenie monadycznej algebry Boole’a .

p = p[edytuj]

Niech będzie algebrą Boole’a. Funkcja zdana wzorem

dla każdego

tworzy wraz z monadyczną algebrę Boole’a .

Funkcyjne monadyczne algebry Boole’a[edytuj]

Niech będzie zupełną algebrą Boole’a i niech będzie dowolnym zbiorem niepustym. Rodzina wszystkich funkcji z działaniami określonymi punktowo jest również zupełną algebrą Boole’a.

Dla każdego istnieje . Niech oznacza funkcję stałą o wartości . Wtedy z powyższym działaniem jest zupełną monadyczną algebrą Boole’a.

Uogólnienie 
Niech będzie dowolną algebrą Boole’a, a dowolnym zbiorem niepustym. Niech będzie podzbiorem zbioru wszystkich funkcji takim, że spełnione są następujące warunki:
    • (z działaniami określonymi punktowo) jest algebrą Boole’a (w szczególności funkcje stałe i należą do );
    • dla każdej funkcji istnieje kres górny zbioru ;
    • jeśli i , to również funkcja stała o wartości należy do zbioru . Funkcję tę oznacza się .
Wówczas jest monadyczną algebrą Boole’a. Takie monadyczne algebry Boole’a nazywa się funkcyjnymi monadycznymi algebrami Boole’a (określonymi na I o wartościach w zbiorze ).

Twierdzenie Halmosa o reprezentacji monadycznych algebr Boole’a[edytuj]

Paul Halmos udowodnił, że każda monadyczna algebra Boole’a jest izomorficzna z funkcyjną monadyczną algebrą Boole’a.

Bibliografia[edytuj]

  • Paul Halmos, Algebraic Logic. Chelsea Publishing Co., New York 1962.