Morfizm uniwersalny

Definicja i proste własności morfizmu uniwersalnego

Morfizm $u\colon X\to Y$ w kategorii ${\boldsymbol {C}}$ nazywamy uniwersalnym, gdy dla dowolnego morfizmu $f\colon X\to Y,$ w tejże kategorii ${\boldsymbol {C}},$ istnieje obiekt $P$ oraz morfizm $p\colon P\to X$ taki, że:

$f\circ p=u\circ p.$

Obiekt $X$ nazywa się stabilnym (uogólnienie przestrzeni topologicznej, mającej własność punktu stałego) gdy identyczność $i_{X}\colon X\to X$ jest morfizmem uniwersalnym.

• Jeżeli morfizm $g\circ f$ jest uniwersalny, to $g$ też jest morfizmem uniwersalnym.
• Jeżeli $f\colon X\to Y$ jest morfizmem uniwersalnym, to $Y$ jest obiektem stabilnym.
• Jeżeli $f\colon X\to Y$ jest morfizmem stabilnym oraz $r\colon Y\to Z$ jest retrakcją, to $r\circ f$ jest morfizmem stabilnym.
• Jeżeli $Y$ jest obiektem stabilnym oraz $r\colon Y\to Z$ jest retrakcją, to $Z$ jest obiektem stabilnym.

Morfizm, który jest uniwersalny w kategorii dualnej do danej, nazywa się morfizmem kouniwersalnym.

Uniwersalność iloczynu prostego i kompozycji morfizmów

Następujące twierdzenie było opublikowane w Fundamenta Mathematicae w przypadku topologicznym (choć znane jego autorowi w ogólnym), a następnie przedstawione na posiedzeniu Wiedeńskiego Towarzystwa Matematycznego w styczniu, 1969 roku, w postaci ogólnej (kategoryjnej), jak niżej:

Twierdzenie: Niech ${\boldsymbol {C}}$ będzie kategorią. Niech $f_{k}\colon X_{k-1}\to X_{k}$ będą morfizmami w ${\boldsymbol {C}}$ dla $k=1,\dots ,n$ (gdzie $n$ jest liczbą naturalną), takimi że:

• istnieją iloczyny proste $X:=\prod _{k=0}^{n-1}X_{k}$ oraz $Y:=\prod _{k=1}^{n}X_{k};$
• iloczyn prosty morfizmów: $u:=\prod _{k=1}^{n}f_{k}\colon X\to Y$ jest morfizmem uniwersalnym.

Wtedy kompozycja $f:=f_{n}\circ \dots \circ f_{1}\colon X_{0}\to X_{n}$ jest morfizmem uniwersalnym.

Dowód: Niech $\pi _{i}\colon X\to X_{i}$ oraz $\mu _{j}\colon Y\to X_{j}$ będą kanonicznymi rzutami dla $i=0,\dots ,n-1$ oraz $j=1,\dots ,n.$ Morfizm u spełnia równości:

$\mu _{k}\circ u=f_{k}\circ \pi _{k-1}\quad {}$ dla $k=1,\dots ,n.$

Niech $g\colon X_{0}\to X_{n}$ będzie dowolnym morfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden morfizm w: $X\to Y$ taki, że:

$\mu _{k}\circ w=\pi _{k}\quad {}$ dla $k=1,\dots ,n-1;$

$\mu _{n}\circ w=g\circ \pi _{0}.$

Istnieje więc pewien obiekt $S$ oraz morfizm $s\colon S\to X$ taki, że:

$w\circ s=u\circ s.$

Zatem:

$\pi _{k}\circ s=\mu _{k}\circ w\circ s=\mu _{k}\circ u\circ s=f_{k}\circ \pi _{k-1}\circ s,$

czyli

$\pi _{k}\circ s=f_{k}\circ \pi _{k-1}\circ s$

dla $k=1,\dots ,n-1$ oraz

$g\circ \pi _{0}\circ s=\mu _{n}\circ w\circ s=\mu _{n}\circ u\circ s=f_{n}\circ \pi _{n-1}\circ s,$

czyli:

$g\circ \pi _{0}\circ s=f_{n}\circ \pi _{n-1}\circ s.$

Powyższe n równości po słowie „czyli” (dwukrotnym) dają indukcyjnie równości:

$\pi _{k}\circ s=f_{k}\circ f_{k-1}\circ \dots \circ f_{1}\circ \pi _{0}\circ s$

dla $k=1,\dots ,n-1,$ oraz ostatecznie:

${\begin{aligned}g\circ \pi _{0}\circ s&=f_{n}\circ \pi _{n-1}\circ s\\&=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \dots \circ f_{1}\circ \pi _{0}\circ s\\&=f\circ \pi _{0}\circ s\end{aligned}}$

Tak więc dla morfizmu $t:=\pi _{0}\circ s$ otrzymaliśmy:

$g\circ t=f\circ t.$

Koniec dowodu.

Powyższe twierdzenie było stosowane w topologii w przeciwną stronę: gdy kompozycja ciągu odwzorowań nie jest uniwersalna, to iloczyn prosty (kartezjański) tych odwzorowań nie jest uniwersalny. W ten sposób przykłady odwzorowań uniwersalnych o nieuniwersalnej kompozycji dały także przykłady na niezachowanie uniwersalności przez iloczyn prosty (kartezjański). Istnieją takie przykłady już dla odwzorowań wielościanów 2-wymiarowych.

Uniwersalne elementy monoidu

Monoid $(M,*,e)$ można interpretować jako kategorię, której jedynym obiektem jest $M,$ morfizmami są elementy zbioru $M,$ a kompozycja morfizmów to po prostu mnożenie $*.$ Wtedy jedność e jest morfizmem identycznościowym: $e=i_{M}.$ Tak więc elementem uniwersalnym monoidu nazywamy element u, który w tej kategorii-monoidzie jest morfizmem uniwersalnym, czyli spełnia warunek:

• dla dowolnego $x\in M$ istnieje $p\in M$ takie, że:

$x*p=u*p.$

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia elementu uniwersalnego w monoidzie $M$ jest jego stabilność, czyli uniwersalność jedności $e.$

Ralph McKenzie udowodnił, że iloczyn dwóch uniwersalnych elementów monoidu nie musi być uniwersalny.

Morfizmy uniwersalne w innych kategoriach

Uwagę morfizmom uniwersalnym poświęcono dotąd niemal wyłącznie w topologii (wciąż niewiele, ok. 20–30 publikacji, kilkunastu autorów – bodajże nie więcej, do roku 2007), gdzie występują pod nazwą funkcja uniwersalna lub odwzorowanie uniwersalne;.

Funkcja ciągła $f\colon X\to Y$ (gdzie $X,$ więc $Y$ też, jest przestrzenią niepustą) nazywa się uniwersalną, gdy jest morfizmem uniwersalnym w kategorii wszystkich niepustych przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych.

Z pierwszego fragmentu powyżej widać, że teoria funkcji uniwersalnych zawiera koncepcyjnie teorię własności punktu stałego (a więc ma potencjał do zastosowań w analizie, zwłaszcza w równaniach). Na dodatek, zawiera ona także topologiczną teorię wymiaru (lwią część), łącząc obie te teorie poprzez przenikanie się metod oraz wyniki, w których występują pojęcia obu tych klasycznych teorii jednocześnie (w tym samym twierdzeniu, nawet gdy samo pojęcie funkcji uniwersalnej w sformułowaniu wyniku nie występuje). Mają też funkcje uniwersalne potencjał w homotopijnej teorii rozmaitości.

Ponieważ algebry Banacha są dualnym uogólnieniem zwartych przestrzeni topologicznych, to w kategorii (niezerowych) algebr Banacha naturalnym jest skupić się na homomorfizmach kouniwersalnych (raczej niż uniwersalnych). Analogiem przestrzeni zwartej $X$ w kategorii algebr Banacha jest algebra funkcji ciągłych, zespolonych, $C(X).$