n-elipsa

Przykłady 3-elipsy dla trzech danych ognisk

W geometrii n-elipsa jest uogólnieniem elipsy o więcej niż dwóch ogniskach^[1]. n-elipsa bywa również nazywa elipsą wieloogniskową^[2], polielipsą^[3] i k-elipsą^[4]. Jako pierwszy badał je James Clerk Maxwell w roku 1846^[5].

Dla danych n punktów ogniskowych $\left(u_{i},v_{i}\right)$ na płaszczyźnie n-elipsa jest zbiorem punktów takich, że suma odległości do n ognisk jest stała i wynosi d. Symbolicznie zapisując, jest to zbiór

\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.

1-elipsa to okrąg, 2-elipsa to po prostu elipsa. Obie są krzywymi algebraicznymi stopnia 2.

Dla dowolnej liczby n ognisk, n-elipsa jest zamkniętą krzywą wypukłą^[2]. Krzywa jest gładka, jeżeli nie przechodzi przez ognisko^[4].

n-elipsa jest zbiorem punktów spełniających określone równanie algebraiczne^[4]. Jeśli n jest nieparzyste, stopień algebraiczny krzywej wynosi $2^{n},$ jeśli n jest parzyste, stopień wynosi $2^{n}-{\binom {n}{n/2}}$ ^[4].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wykaz literatury uzupełniającej: N-elipsa.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ JunpeiJ. Sekino JunpeiJ., $n$-ellipses and the minimum distance sum problem, „American Mathematical Monthly”, 106 (3), 1999, s. 193–202, DOI: 10.2307/2589675, ISSN 0002-9890, JSTOR: 2589675 [dostęp 2022-04-23] (ang.).
↑ ^a ^b P. Erdös I.P.E.I. Vincze P. Erdös I.P.E.I., On the approximation of convex, closed plane curves by multifocal ellipses, „Journal of Applied Probability”, 19 (A), 1982, s. 89–96, DOI: 10.2307/3213552, ISSN 0021-9002, JSTOR: 3213552 [dostęp 2022-04-23] (ang.).
↑ Z.A.Z.A. Melzak Z.A.Z.A., J.S.J.S. Forsyth J.S.J.S., Polyconics 1. polyellipses and optimization, „Q. of Appl. Math.”, 1977, s. 239–255 .
↑ ^a ^b ^c ^d J.J. Nie J.J., P.A.P.A. Parrilo P.A.P.A., B.B. Sturmfels B.B., Semidefinite representation of the k-ellipse, „Volumes in Mathematics and its Applications”, 2008, s. 117–132 .
↑ James ClerkJ.C. Maxwell James ClerkJ.C., The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: Volume 1, 1846-1862, CUP Archive, 26 października 1990, ISBN 978-0-521-25625-4 [dostęp 2022-04-23] (ang.).

[1] JunpeiJ. Sekino JunpeiJ., \(n\)-ellipses and the minimum distance sum problem, „American Mathematical Monthly”, 106 (3), 1999, s. 193–202, DOI: 10.2307/2589675, ISSN 0002-9890, JSTOR: 2589675 [dostęp 2022-04-23] (ang.).

[:0-2] P. Erdös I.P.E.I. Vincze P. Erdös I.P.E.I., On the approximation of convex, closed plane curves by multifocal ellipses, „Journal of Applied Probability”, 19 (A), 1982, s. 89–96, DOI: 10.2307/3213552, ISSN 0021-9002, JSTOR: 3213552 [dostęp 2022-04-23] (ang.).

[3] Z.A.Z.A. Melzak Z.A.Z.A., J.S.J.S. Forsyth J.S.J.S., Polyconics 1. polyellipses and optimization, „Q. of Appl. Math.”, 1977, s. 239–255 .

[:1-4] J.J. Nie J.J., P.A.P.A. Parrilo P.A.P.A., B.B. Sturmfels B.B., Semidefinite representation of the k-ellipse, „Volumes in Mathematics and its Applications”, 2008, s. 117–132 .

[5] James ClerkJ.C. Maxwell James ClerkJ.C., The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: Volume 1, 1846-1862, CUP Archive, 26 października 1990, ISBN 978-0-521-25625-4 [dostęp 2022-04-23] (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]