Akwasi Asare pochodzi z miasta Kumasi. Tam też rozpoczął karierę w małym klubie Kumasi Cornestones. Z czasem jednak podjął treningi w akademii piłkarskiej o nazwie Feyenoord Academy, ghańskiej filii Feyenoordu. W 2004 roku w wieku 18 lat trafił do tego holenderskiego klubu i występował w rezerwach, ale nie zdołał przebić się do pierwszego zespołu. Latem 2004 przeszedł do Royal Antwerp FC, w barwach którego występował w Tweede Klasse. Po sezonie został wypożyczony do innego drugoligowca, KV Mechelen. W 2007 roku stał się pełnoprawnym graczem tej drużyny. 16 maja 2009 roku Asare przeniósł się do holenderskiego Utrechtu. W 2013 roku został zawodnikiem KAA Gent.
