Naprężenie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Naprężenie – miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych, występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego zależy od kierunku normalnej zewnętrznej do tego przekroju i kierunku działającej na niego siły . Naprężenie oblicza się ze wzoru

Wektor naprężenia występującego w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:

gdzie:

wektor naprężenia,
– wektor sił wewnętrznych działających w przekroju,
A – pole przekroju,
σ – składowa normalna (prostopadła do powierzchni),
wektor normalny do powierzchni,
– składowa ścinająca (równoległa do powierzchni).

Kartezjański układ współrzędnych[edytuj]

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia[1], można wprowadzić dowolnie zorientowany prostokątny, kartezjański układ współrzędnych. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do tych osi można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σx, τxy, τxz, σy, τyx, τyz, σz, τzx, τzy.

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z zachodzi:

gdzie: wersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; – wersory osi odpowiednio x i y.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące warunki:

τxy = τyx
τxz = τzx
τyz = τzy

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne.

Zapis tensorowy[edytuj]

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem). W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

- (sumowanie po i,j),

gdzie: wektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej:

Badając równowagę elemenatrnego sześcianu, zakładając że nie wsytępują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909)[2], dowodzi się że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest:

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

gdzie:

, , – składowe normalne
, , – składowe ścinające

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe[edytuj]

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – powoduje zmianę objętości (gęstości) ciała i dla części materiałów nie prowadzi do powstania odkształceń trwałych.
Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – zawsze doprowadza do zmiany postaci ciała i może prowadzić do odkształceń trwałych.



gdzie:

Niezmienniki stanu naprężenia[edytuj]

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, posiada trzy niezmienniki[3], czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych , ,

 Osobny artykuł: Naprężenie główne.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Rozważając punkt ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.
  2. Andrzej Gawęcki: Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych. Alma Mater, 2003, s. część1: s.3, 10.
  3. Gawęcki A., Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wyd. Politechniki Poznańskiej 1985, str. 36

Linki zewnętrzne[edytuj]