Naprężenie

Fragment kątomierza z tworzywa sztucznego. Kolorowe wzory ilustrują rozkład naprężeń.

Naprężenie – miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych, występujących w pewnym punkcie przekroju ośrodka ciągłego. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie (całkowite) ${\vec {s}}$${\vec {s}}$ w dowolnym punkcie przekroju zależy od kierunku normalnej zewnętrznej ${\vec {n}}$${\vec n}$ do tego przekroju oraz wartości i kierunku działającej na niego siły ${\vec {F}}$${\vec F}$. Naprężenie oblicza się ze wzoru

${\vec {s}}={\mathop {\lim _{\Delta A\to 0}}}{{\Delta {\vec {F}}} \over \Delta A}.$${\vec {s}}={\mathop {\lim _{\Delta A\to 0}}}{{\Delta {\vec {F}}} \over \Delta A}.$

Wektor ten można rozłożyć na dwie składowe:

${\vec {s}}=\sigma _{n}{\vec {n}}+{\vec {\tau }},$${\vec {s}}=\sigma _{n}{\vec {n}}+{\vec {\tau }},$

gdzie:

${\vec {s}}$${\vec {s}}$ – wypadkowy wektor naprężenia,

${\vec {F}}$${\vec F}$ – wypadkowy wektor sił wewnętrznych,

A – pole przekroju poprzecznego,

$\sigma _{n}$$\sigma _{n}$ – składowa normalna (prostopadła do powierzchni),

${\vec {n}}$${\vec n}$ – wektor normalny do powierzchni,

${\vec {\tau }}$${\vec {\tau }}$ – składowa styczna, ścinająca (równoległa do powierzchni).

Kartezjański układ współrzędnych

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia, można wprowadzić dowolnie zorientowany prostokątny, kartezjański układ współrzędnych. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do tych osi można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σ_x, τ_xy, τ_xz, σ_y, τ_yx, τ_yz, σ_z, τ_zx, τ_zy.

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z można napisać:

${\vec {s}}=\sigma _{z}{\vec {k}}+\tau _{zx}{\vec {i}}+\tau _{zy}{\vec {j}}=\sigma {\vec {n}}+{\vec {\tau }},$${\vec {s}}=\sigma _{z}{\vec {k}}+\tau _{zx}{\vec {i}}+\tau _{zy}{\vec {j}}=\sigma {\vec {n}}+{\vec {\tau }},$

gdzie: ${\vec {k}}={\vec {n}}$${\vec {k}}={\vec {n}}$ – wersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; ${\vec {i}},{\vec {j}}$${\vec {i}},{\vec {j}}$ – wersory osi odpowiednio x i y.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:

$\tau _{xy}=\tau _{yx},\qquad \tau _{xz}=\tau _{zx},\qquad \tau _{yz}=\tau _{zy}.$$\tau _{xy}=\tau _{yx},\qquad \tau _{xz}=\tau _{zx},\qquad \tau _{yz}=\tau _{zy}.$

W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne: $\sigma _{1}\leq \sigma _{2}\leq \sigma _{3},$$\sigma _{1}\leq \sigma _{2}\leq \sigma _{3},$ przy czym $\sigma _{1}=\sigma _{min},\;\sigma _{3}=\sigma _{max}.$$\sigma _{1}=\sigma _{min},\;\sigma _{3}=\sigma _{max}.$

Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.

Zapis tensorowy

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).

Badając równowagę elemenatrnego sześcianu, zakładając że nie wsytępują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909), dowodzi się że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$$\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

$\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}\qquad$$\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}\qquad$ lub $\qquad \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$$\qquad \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$

gdzie: $\sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z}$$\sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z}$ – naprężenia normalne, $\quad \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz}$$\quad \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz}$ – naprężenia ścinające.

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – opisuje zmianę objętości (gęstości) ciała.

Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – opisuje zmianę postaci ciała.

${\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}}{\begin{matrix}=\\\,\end{matrix}}\underbrace {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{0}&0&0\\0&\sigma _{0}&0\\0&0&\sigma _{0}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}} _{\text{aksjator}}{\begin{matrix}+\\\,\end{matrix}}\underbrace {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}-\sigma _{0}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\sigma _{0}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\sigma _{0}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}} _{\text{dewiator}}$${\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}}{\begin{matrix}=\\\,\end{matrix}}\underbrace {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{0}&0&0\\0&\sigma _{0}&0\\0&0&\sigma _{0}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}} _{\text{aksjator}}{\begin{matrix}+\\\,\end{matrix}}\underbrace {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}-\sigma _{0}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\sigma _{0}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\sigma _{0}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}} _{\text{dewiator}}$

gdzie:

$\sigma _{0}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}.$$\sigma _{0}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}.$

Niezmienniki stanu naprężenia

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, posiada trzy niezmienniki, czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych

$I_{1}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=$$I_{1}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=$ const,

$I_{2}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}+\sigma _{2}\cdot \sigma _{3}+\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}=$$I_{2}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}+\sigma _{2}\cdot \sigma _{3}+\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}=$ const,

$I_{3}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=$$I_{3}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=$ const,

w których przez $\sigma _{1},\;\sigma _{2},\;\sigma _{3}$$\sigma _{1},\;\sigma _{2},\;\sigma _{3}$ oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.

Zobacz też

• odkształcenie
• prawo Hooke'a
• naprężenie w geologii

Linki zewnętrzne

• Fale naprężenia na linii - Applet (Spannungswellen auf einer Leitung - Applet - GER)