Naprężenie

Fragment kątomierza z tworzywa sztucznego. Kolorowe wzory ilustrują rozkład naprężeń.

Naprężenie – miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych, występujących w pewnym punkcie przekroju ośrodka ciągłego. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie (całkowite) ${\vec {s}}$ w dowolnym punkcie przekroju zależy od kierunku normalnej zewnętrznej ${\vec {n}}$ do tego przekroju oraz wartości i kierunku działającej na niego elementarnej siły $\Delta {\vec {F}}.$ Naprężenie oblicza się ze wzoru

${\vec {s}}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta {\vec {F}}}{\Delta A}}.$

Wektor ten można rozłożyć na dwie składowe:

${\vec {s}}=\sigma _{n}{\vec {n}}+{\vec {\tau }},$

gdzie:

${\vec {s}}$ – wypadkowy wektor naprężenia,

$\Delta {\vec {F}}$ – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię $\Delta A$ ,

$A$ – pole przekroju,

$\sigma _{n}$ – składowa normalna (prostopadła do przekroju),

${\vec {n}}$ – wektor normalny do powierzchni,

${\vec {\tau }}$ – składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju).

Kartezjański układ współrzędnych

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia, można wprowadzić dowolnie zorientowany prostokątny, kartezjański układ współrzędnych. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do tych osi, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:

$\sigma _{x},\;\tau _{xy},\;\tau _{xz},\;\sigma _{y},\;\tau _{yx},\;\tau _{yz},\;\sigma _{z},\;\tau _{zx},\;\tau _{zy}.$

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest "na zewnątrz" otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni „górnej” (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi $z$ można napisać:

${\vec {s}}=\sigma _{z}{\vec {k}}+\tau _{zx}{\vec {i}}+\tau _{zy}{\vec {j}}=\sigma {\vec {n}}+{\vec {\tau }},$

gdzie:

${\vec {k}}={\vec {n}}$ – wersor osi $z,$ a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni;

${\vec {i}},{\vec {j}}$ – wersory osi odpowiednio $x$ i $y.$

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:

$\tau _{xy}=\tau _{yx},$

$\tau _{xz}=\tau _{zx},$

$\tau _{yz}=\tau _{zy}.$

W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne: $\sigma _{1}\leqslant \sigma _{2}\leqslant \sigma _{3},$ przy czym $\sigma _{1}=\sigma _{min},\;\sigma _{3}=\sigma _{max}.$

Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.

Zapis tensorowy

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia $\sigma$ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).

Badając pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$.

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

$\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$   lub   $\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}},$

gdzie:

$\sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z}$ – naprężenia normalne,

$\tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz}$ – naprężenia ścinające (styczne).

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – opisuje zmianę objętości (gęstości) ciała.

Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – opisuje zmianę postaci ciała.

${\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}}{\begin{matrix}=\\\,\end{matrix}}\underbrace {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{0}&0&0\\0&\sigma _{0}&0\\0&0&\sigma _{0}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}} _{\text{aksjator}}{\begin{matrix}+\\\,\end{matrix}}\underbrace {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}-\sigma _{0}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\sigma _{0}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\sigma _{0}\end{bmatrix}}\\\,\end{matrix}} _{\text{dewiator}},$

gdzie:

$\sigma _{0}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}.$

Niezmienniki stanu naprężenia

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki, czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych

$I_{1}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=\operatorname {const} ,$

$I_{2}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}+\sigma _{2}\cdot \sigma _{3}+\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}=\operatorname {const} ,$

$I_{3}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=\operatorname {const} ,$

w których przez $\sigma _{1},\;\sigma _{2},\;\sigma _{3}$ oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.

Zobacz też

• naprężenie w geologii
• odkształcenie
• prawo Hooke’a

Linki zewnętrzne

• Fale naprężenia na linii – Applet (Spannungswellen auf einer Leitung – Applet – GER)