Naprężenie
Naprężenie – miara intensywności powierzchniowej sił wewnętrznych, występujących w pewnym punkcie przekroju ośrodka ciągłego. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.
Naprężenie (całkowite) w dowolnym punkcie przekroju zależy od kierunku normalnej zewnętrznej do tego przekroju oraz wartości i kierunku działającej na niego elementarnej siły Naprężenie oblicza się ze wzoru
Wektor ten można rozłożyć na dwie składowe:
gdzie:
- – wypadkowy wektor naprężenia,
- – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię
- – pole przekroju,
- – składowa normalna (prostopadła do przekroju),
- – wektor normalny do powierzchni,
- – składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju).
Kartezjański układ współrzędnych[edytuj | edytuj kod]
W każdym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia[1], można wprowadzić dowolnie zorientowany prostokątny, kartezjański układ współrzędnych. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do tych osi, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:
Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest „na zewnątrz” otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.
Na przykład dla powierzchni „górnej” (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi można napisać:
gdzie:
- – wersor osi a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni;
- – wersory osi odpowiednio i
Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:
W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne: przy czym
Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.
Zapis tensorowy[edytuj | edytuj kod]
Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).
Badając pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909[2]), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest:
Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:
- lub
gdzie:
- – naprężenia normalne,
- – naprężenia ścinające (styczne).
Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe[edytuj | edytuj kod]
Każdy stan naprężenia można zawsze rozłożyć na dwa stany podstawowe:
- Aksjator (tensor kulisty) – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – wywołuje tylko zmianę objętości (gęstości) ciała.
- Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – wywołuje tylko zmianę postaci ciała: sześcian zmienia się w dwuskośny równoległościan bez zmian długości krawędzi[2].
- gdzie:
Niezmienniki stanu naprężenia[edytuj | edytuj kod]
Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki[3], czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych
w których przez oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
- Występowanie tekstu „naprężenie” w tytułach artykułów i w przekierowaniach
- Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „naprężenie”
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Rozważając punkt, ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.
- ↑ a b Andrzej Gawęcki: Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych. Alma Mater, 2003, s. część 1, s. 3, 10.
- ↑ A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 1985, s. 36.