Następnik liczby porządkowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Następnik liczby porządkowej – najmniejsza liczba porządkowa większa niż . Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej, nazywa się liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od jest albo liczbą następnikową, albo graniczną liczbą porządkową.

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowego modelu używanego obecnie w teorii mnogości), następnikiem liczby porządkowej jest dana wzorem:

Zastosowanie[edytuj]

Następnik liczby porządkowej jest podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. zbioru liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Używając operacji następnika można zdefiniować arytmetykę liczb porządkowych, np. dodawanie, przez indukcję pozaskończoną:

i dla granicznej liczby porządkowej λ

W szczególności, S(α) = α + 1. Podobnie definiuje się mnożenie i potęgowanie.

Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia klasy liczb porządkowych, w odniesieniu do topologii porządkowej.

Uwaga:

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby, które nie mają tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi).

Własności[edytuj]

  • Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy i ,
  • Jeśli , to (zob. zbiór tranzytywny).

Przykłady[edytuj]

  • (tu: )
  • ,
  • .

Bibliografia[edytuj]

  1. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007.
  2. Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.

Zobacz też[edytuj]