Następnik liczby porządkowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Następnik liczby porządkowej – najmniejsza liczba porządkowa większa niż . Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej, nazywa się liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od jest albo liczbą następnikową, albo graniczną liczbą porządkową.

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowego modelu używanego obecnie w teorii mnogości), następnikiem liczby porządkowej jest dana wzorem:

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Następnik liczby porządkowej jest podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. zbioru liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Używając operacji następnika, można zdefiniować arytmetykę liczb porządkowych, na przykład dodawanie, przez indukcję pozaskończoną:

i dla granicznej liczby porządkowej λ

W szczególności, S(α) = α + 1. Podobnie definiuje się mnożenie i potęgowanie.

Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia klasy liczb porządkowych, w odniesieniu do topologii porządkowej.

Uwaga:

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby niemające tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy i ,
  • Jeśli , to (zob. zbiór przechodni).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • (tu: )
  • ,
  • .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007.
  2. Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]