Nierówność Cauchy’ego-Schwarza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność Cauchy’ego-Schwarza – podstawowa własność iloczynu skalarnego w przestrzeni unitarnej. Nierówność ta znana jest także pod wieloma innymi nazwami: Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza.

Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy’ego, odpowiadająca jej nierówność dla całek została przedstawiona przez Wiktora Jakowlewicza Buniakowskiego w 1859 roku i odkryta na nowo w 1888 roku przez Hermanna Amandusa Schwarza.

Nierówność[edytuj]

Jeżeli oznacza iloczyn skalarny wektorów danej przestrzeni unitarnej , to nierównością Schwarza nazywa się nierówność

lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i liniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar , że zachodzi lub .

Przykłady[edytuj]

Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności:

  • w przestrzeni euklidesowej z euklidesowym iloczynem skalarnym otrzymuje się nierówność
co można zapisać zwięźlej w postaci
  • w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku z iloczynem skalarnym danym wzorem dostaje się
  • dla funkcji z przestrzeni L2(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn należy do przestrzeni L1(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L2 jest równoważna nierówności Höldera dla . Nierówność dla można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.

Dowód[edytuj]

Nierówność jest spełniona dla , zatem można przyjąć, że Dla dowolnej liczby zespolonej jest

Wybierając

otrzymuje się nierówność

która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

co z uwagi na równość

jest tożsame

Zobacz też[edytuj]