Nierówności między średnimi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Nierówność Cauchy'ego o średnich)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność Cauchy’ego o średnich dla liczb dodatnich stwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb jest nierosnący. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka.

Oznacza to, że

.

Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są równe.

Nierówność Cauchy’ego o średnich jest szczególnym przypadkiem nierówności o średniej uogólnionej.

Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności:

dla

i

bądź wersję całkową:

.

dla całkowalnej i dodatniej w .

Dowody[edytuj]

Nierówność Cauchy’ego o średnich jest szczególnym przypadkiem nierówności o średniej potęgowej, więc dowód nierówności między średnimi potęgowymi jest jednocześnie dowodem nierówności Cauchy’ego, ale można przeprowadzić również osobne dowody, mniej lub bardziej zbliżone do dowodu nierówności o średniej potęgowej, dla poszczególnych nierówności zawartych w nierówności Cauchy’ego.

Średnia arytmetyczna i geometryczna[edytuj]

Dowód przy użyciu nierówności o ciągach jednomonotonicznych[edytuj]

Niniejszy dowód korzysta z nierówności o ciągach jednomonotonicznych. Weźmy dowolny ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: . Możemy założyć bez straty ogólności, że jest on uporządkowany nierosnąco, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, ciąg ten jest wobec tego monotoniczny, a w szczególności jest jednomonotoniczny sam ze sobą. Następnie mnożąc kolejne elementy tego ciągu 'po przekątnej' i operację tę powtarzając n razy, jak na przykładzie dla n = 3 (mnożymy wyrazy tego samego koloru):

po dodaniu otrzymujemy:

zgodnie z nierównością o ciągach jednomonotonicznych:

co po podzieleniu obustronnie przez n daje żądaną nierówność:

Dowód przy użyciu nierówności Jensena[edytuj]

Funkcja log x jest wklęsła w przedziale . Z nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej przy

otrzymujemy, że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi

Stąd:

Funkcja jest rosnąca, więc jest to równoważne:

Co kończy dowód.

Dowód przy użyciu nierówności Muirheada[edytuj]

Biorąc ciągi i z nierówności Muirheada otrzymujemy natychmiast:

czyli

.

Średnia geometryczna i harmoniczna[edytuj]

Zgodnie z nierównością między średnimi arytmetyczną i geometryczną:

Gdzie xi są dodatnie (z czego wynika, że ich odwrotności są dodatnie). Funkcja

jest malejąca, więc po nałożeniu jej obustronnie na powyższą nierówność otrzymujemy:

Co kończy dowód.

Średnia arytmetyczna i kwadratowa[edytuj]

Dowód korzysta z nierówności o ciągach jednomonotonicznych.

Rozważmy sumę:

nierosnącego ciągu liczb rzeczywistych dodatnich a1, ..., an. Zgodnie z nierównością o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu. Po pomnożeniu jej przez n otrzymujemy:

co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych n sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia. Łatwo zauważyć, że iloczyn: jest sumą dokładnie n takich sum, zatem:

dzielimy obustronnie przez

wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy:

Co kończy dowód.

Przykładowe zastosowania[edytuj]

Ciąg (n1/n) dąży do 1[edytuj]

Przy użyciu nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną oraz twierdzenia o trzech ciągach można wykazać, że

Rzeczywiście,

skąd

Ponieważ

więc również

Zobacz też[edytuj]