Nierówności między średnimi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówności między średnimi, nierówności Cauchy’ego między średnimi – nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich . Ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka.

Oznacza to, że

.

Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są równe.

Nierówność między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi uogólnionymi.

Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności:

dla

i

bądź wersję całkową:

.

dla całkowalnej i dodatniej w .

Dowody[edytuj]

Nierówność Cauchy’ego między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi potęgowymi, więc dowód nierówności między średnimi potęgowymi jest jednocześnie dowodem nierówności Cauchy’ego, ale można przeprowadzić również osobne dowody, mniej lub bardziej zbliżone do dowodu nierówności między średnimi potęgowymi, dla poszczególnych nierówności zawartych wśród nierówności Cauchy’ego.

Średnia arytmetyczna i geometryczna[edytuj]

Dowód przy użyciu twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych[edytuj]

Niniejszy dowód korzysta z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych. Weźmy dowolny ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: . Możemy założyć bez straty ogólności, że jest on uporządkowany nierosnąco, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, ciąg ten jest wobec tego monotoniczny, a w szczególności jest jednomonotoniczny sam ze sobą. Następnie mnożąc kolejne elementy tego ciągu 'po przekątnej' i operację tę powtarzając n razy, jak na przykładzie dla n = 3 (mnożymy wyrazy tego samego koloru):

po dodaniu otrzymujemy:

zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych:

co po podzieleniu obustronnie przez n daje żądaną nierówność:

Dowód przy użyciu nierówności Jensena[edytuj]

Funkcja log x jest wklęsła w przedziale . Z nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej przy

otrzymujemy, że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi

Stąd:

Funkcja jest rosnąca, więc jest to równoważne:

Co kończy dowód.

Dowód przy użyciu nierówności Muirheada[edytuj]

Biorąc ciągi i z nierówności Muirheada otrzymujemy natychmiast:

czyli

.

Średnia geometryczna i harmoniczna[edytuj]

Zgodnie z nierównością między średnimi arytmetyczną i geometryczną:

Gdzie xi są dodatnie (z czego wynika, że ich odwrotności są dodatnie). Funkcja

jest malejąca, więc po nałożeniu jej obustronnie na powyższą nierówność otrzymujemy:

Co kończy dowód.

Średnia arytmetyczna i kwadratowa[edytuj]

Dowód korzysta z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych.

Rozważmy sumę:

nierosnącego ciągu liczb rzeczywistych dodatnich a1, ..., an. Zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu. Po pomnożeniu jej przez n otrzymujemy:

co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych n sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia. Łatwo zauważyć, że iloczyn: jest sumą dokładnie n takich sum, zatem:

dzielimy obustronnie przez

wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy:

Co kończy dowód.

Przykładowe zastosowania[edytuj]

Ciąg (n1/n) dąży do 1[edytuj]

Przy użyciu nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną oraz twierdzenia o trzech ciągach można wykazać, że

Rzeczywiście,

skąd

Ponieważ

więc również

Zobacz też[edytuj]