Nierówność Cauchy’ego-Schwarza
Nierówność Cauchy’ego-Schwarza, Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza[1] lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza[a] – ograniczenie górne na iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni unitarnej wykorzystujące iloczyn norm tych wektorów, jedna z najczęściej stosowanych nierówności w matematyce[2].
Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy’ego[3]. Odpowiadająca jej nierówność całkowa została podana niezależnie przez Wiktora Buniakowskiego i Hermanna Schwarza[1], odpowiednio w 1859 i w 1884 roku[4].
Nierówność
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli oznacza iloczyn skalarny wektorów danej przestrzeni unitarnej to nierównością Schwarza nazywa się nierówność
lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i są liniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar że zachodzi lub
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności:
- w przestrzeni euklidesowej z euklidesowym iloczynem skalarnym otrzymuje się nierówność
- co można zapisać zwięźlej w postaci
- w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku z iloczynem skalarnym danym wzorem dostaje się
- dla funkcji z przestrzeni L2(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn należy do przestrzeni L1(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz
Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest równoważna nierówności Höldera dla Nierówność dla można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.
Dowód
[edytuj | edytuj kod]Nierówność jest spełniona dla zatem można przyjąć, że Dla dowolnej liczby zespolonej jest
Wybierając
otrzymuje się nierówność
która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
co z uwagi na równość
jest tożsame
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Niektóre z tych nazw bywają rezerwowane dla szczególnych przypadków, np. Buniakowskiego-Schwarza dla przypadku całkowego.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b nierówność Buniakowskiego–Schwarza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-03] .
- ↑ J. Michael Steele , The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities, wyd. repr, MAA problem books series, Cambridge: Cambridge University Press [u.a.], 2006, ISBN 978-0-521-54677-5 [dostęp 2024-01-20] .
- ↑ Nierówność Cauchy’ego–Schwarza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-03] .
- ↑ Bunyakovskii inequality (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Piotr Stachura, Nierówność Cauchy'ego-Schwarza, kanał Khan Academy na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2024-06-22].
- Eric W. Weisstein , Schwarz’s Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].
- Eric W. Weisstein , Cauchy’s Inequality, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].