Nierówność Cauchy’ego-Schwarza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nierówność Cauchy’ego-Schwarza, Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza[1] lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza[a] – podstawowa własność iloczynu skalarnego w przestrzeni unitarnej.

Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy’ego[2]. Odpowiadająca jej nierówność całkowa została podana niezależnie przez Wiktora Buniakowskiego i Hermanna Schwarza,[1] odpowiednio w 1859 i w 1888 roku.

Nierówność[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli oznacza iloczyn skalarny wektorów danej przestrzeni unitarnej to nierównością Schwarza nazywa się nierówność

lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i liniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar że zachodzi lub

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności:

  • w przestrzeni euklidesowej z euklidesowym iloczynem skalarnym otrzymuje się nierówność
co można zapisać zwięźlej w postaci
  • w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku z iloczynem skalarnym danym wzorem dostaje się
  • dla funkcji z przestrzeni L2(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn należy do przestrzeni L1(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest równoważna nierówności Höldera dla Nierówność dla można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Nierówność jest spełniona dla zatem można przyjąć, że Dla dowolnej liczby zespolonej jest

Wybierając

otrzymuje się nierówność

która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

co z uwagi na równość

jest tożsame

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Niektóre z tych nazw bywają rezerwowane dla szczególnych przypadków, np. Buniakowskiego-Schwarza dla przypadku całkowego.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b nierówność Buniakowskiego–Schwarza, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-03].
  2. Nierówność Cauchy’ego–Schwarza, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-03].