Nierówność Gronwalla

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność Gronwalla – jedna z podstawowych nierówności stosowanych w teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana jest m.in. w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy przez szwedzkiego matematyka, T.H. Grönwalla, w 1918[1].

Nierówność Gronwalla[edytuj]

Niech (a,b) będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech t0 ∈ (a,b). Niech ponadto α, β, u będą funkcjami ciągłymi określonymi na (a,b) o wartościach w R+. Jeżeli dla każdego t ∈ (a,b) zachodzi nierówność

to dla każdego t ∈ (a,b) zachodzi również

Dowód[edytuj]

Poniższy dowód pochodzi od J. A. Oguntuase[2].

Niech

.

Wówczas

.

Ponadto, niech

.

Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez γ(t) otzymujemy

Ostatecznie,

Wynika z powyższego, iż

Czyli

Ostatecznie,

Postać różniczkowa nierówności[edytuj]

Niech I=[a,b] będzie odcinkiem na prostej rzeczywistej przy a<b. Niech β i u będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na odcinku I. Jeżeli u jest funkcją różniczkowalną na wnętrzu int(I)=(a,b) oraz zachodzi szacowanie dla wszystkich t ∈ (a,b), to zachodzi nierówność dla wszystkich t ∈ I = [a,b].

Przypisy

  1. T. H. Gronwall, Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. of Math. 20 (1918), 292–296.
  2. J. A. Oguntuase, On an inequality of Gronwall, J. Inequal. Pure and App. Math. 2 (2001), 6 ss.