Nierówność Gronwalla

Nierówność Gronwalla – jedna z podstawowych nierówności stosowanych w teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana jest m.in. w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy przez szwedzkiego matematyka, T.H. Grönwalla, w 1918.

Nierówność Gronwalla

Niech (a,b) będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech t₀ ∈ (a,b). Niech ponadto α, β, u będą funkcjami ciągłymi określonymi na (a,b) o wartościach w R₊. Jeżeli dla każdego t ∈ (a,b) zachodzi nierówność

$u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\rm {d}}s\right|,$$u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\rm {d}}s\right|,$

to dla każdego t ∈ (a,b) zachodzi również

$u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,{\rm {d}}\xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.$$u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,{\rm {d}}\xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.$

Dowód

Poniższy dowód pochodzi od J. A. Oguntuase.

Niech

$v(t)=\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s){\mbox{d}}s$$v(t)=\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s){\mbox{d}}s$.

Wówczas

$v^{\prime }(t)=\beta (t)u(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\mbox{d}}s\right|=\alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\cdot {\mbox{sgn}}(t-t_{0})v(t)$$v^{\prime }(t)=\beta (t)u(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\mbox{d}}s\right|=\alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\cdot {\mbox{sgn}}(t-t_{0})v(t)$.

Ponadto, niech

$\gamma (t)=e^{-\int _{t_{0}}^{t}{\rm {sgn}}(s-t_{0})\beta (s)\,{\rm {d}}s}$$\gamma (t)=e^{-\int _{t_{0}}^{t}{\rm {sgn}}(s-t_{0})\beta (s)\,{\rm {d}}s}$.

Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez γ(t) otzymujemy

$\gamma (t)v^{\prime }(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)\gamma (t)-v(t)\gamma ^{\prime }(t).$$\gamma (t)v^{\prime }(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)\gamma (t)-v(t)\gamma ^{\prime }(t).$

Ostatecznie,

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}(\gamma (t)v(t))-\alpha (t)\beta (t)\gamma (t)\leqslant 0.$${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}(\gamma (t)v(t))-\alpha (t)\beta (t)\gamma (t)\leqslant 0.$

Wynika z powyższego, iż

${\mbox{sgn}}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}(\gamma (s)v(s))-\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,{\rm {d}}s\leqslant 0.$${\mbox{sgn}}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}(\gamma (s)v(s))-\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,{\rm {d}}s\leqslant 0.$

Czyli

${\mbox{sgn}}(t-t_{0})\gamma (t)v(t)\leqslant {\mbox{sgn}}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,{\mbox{d}}s.$${\mbox{sgn}}(t-t_{0})\gamma (t)v(t)\leqslant {\mbox{sgn}}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,{\mbox{d}}s.$

Ostatecznie,

${\begin{array}{lcl}u(t)&\leqslant &\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\rm {d}}s\right|\\&=&\alpha (t)+{\mbox{sgn}}(t-t_{0})v(t)\\&\leqslant &\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s){\frac {\gamma (s)}{\gamma (t)}}\,{\mbox{d}}s\right|\\&=&\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,{\rm {d}}\xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.\end{array}}$${\begin{array}{lcl}u(t)&\leqslant &\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\rm {d}}s\right|\\&=&\alpha (t)+{\mbox{sgn}}(t-t_{0})v(t)\\&\leqslant &\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s){\frac {\gamma (s)}{\gamma (t)}}\,{\mbox{d}}s\right|\\&=&\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,{\rm {d}}\xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.\end{array}}$

Postać różniczkowa nierówności

Niech I=[a,b] będzie odcinkiem na prostej rzeczywistej przy a<b. Niech β i u będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na odcinku I. Jeżeli u jest funkcją różniczkowalną na wnętrzu int(I)=(a,b) oraz zachodzi szacowanie $u'(t)\leq \beta (t)u(t)$$u'(t)\leq \beta (t)u(t)$ dla wszystkich t ∈ (a,b), to zachodzi nierówność $u(t)\leq u(a)\cdot \exp \left(\int _{a}^{t}\beta (s)\mathrm {d} s\right)$$u(t)\leq u(a)\cdot \exp \left(\int _{a}^{t}\beta (s)\mathrm {d} s\right)$ dla wszystkich t ∈ I = [a,b].