Nierówność Gronwalla – jedna z podstawowych nierówności stosowanych w teorii równań różniczkowych zwyczajnych . Stosowana jest m.in. w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy przez szwedzkiego matematyka, T.H. Grönwalla , w 1918[1]
Niech (a ,b ) będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech t 0 ∈ (a ,b ). Niech ponadto α, β, u będą funkcjami ciągłymi określonymi na (a ,b ) o wartościach w R+ . Jeżeli dla każdego t ∈ (a ,b ) zachodzi nierówność
u
(
t
)
⩽
α
(
t
)
+
|
∫
t
0
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
|
,
{\displaystyle u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\rm {d}}s\right|,}
to dla każdego t ∈ (a ,b ) zachodzi również
u
(
t
)
⩽
α
(
t
)
+
|
∫
t
0
t
α
(
s
)
β
(
s
)
e
|
∫
s
t
β
(
ξ
)
d
ξ
|
d
s
|
.
{\displaystyle u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,{\rm {d}}\xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.}
Poniższy dowód pochodzi od J. A. Oguntuase[2]
Niech
v
(
t
)
=
∫
t
0
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
{\displaystyle v(t)=\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s){\mbox{d}}s}
Wówczas
v
′
(
t
)
=
β
(
t
)
u
(
t
)
⩽
α
(
t
)
β
(
t
)
+
β
(
t
)
|
∫
t
0
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
|
=
α
(
t
)
β
(
t
)
+
β
(
t
)
⋅
sgn
(
t
−
t
0
)
v
(
t
)
{\displaystyle v^{\prime }(t)=\beta (t)u(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\mbox{d}}s\right|=\alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\cdot {\mbox{sgn}}(t-t_{0})v(t)}
Ponadto, niech
γ
(
t
)
=
e
−
∫
t
0
t
s
g
n
(
s
−
t
0
)
β
(
s
)
d
s
{\displaystyle \gamma (t)=e^{-\int _{t_{0}}^{t}{\rm {sgn}}(s-t_{0})\beta (s)\,{\rm {d}}s}}
Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez γ (t ) otzymujemy
γ
(
t
)
v
′
(
t
)
⩽
α
(
t
)
β
(
t
)
γ
(
t
)
−
v
(
t
)
γ
′
(
t
)
.
{\displaystyle \gamma (t)v^{\prime }(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)\gamma (t)-v(t)\gamma ^{\prime }(t).}
Ostatecznie,
d
d
t
(
γ
(
t
)
v
(
t
)
)
−
α
(
t
)
β
(
t
)
γ
(
t
)
⩽
0.
{\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}(\gamma (t)v(t))-\alpha (t)\beta (t)\gamma (t)\leqslant 0.}
Wynika z powyższego, iż
sgn
(
t
−
t
0
)
∫
t
0
t
d
d
t
(
γ
(
s
)
v
(
s
)
)
−
α
(
s
)
β
(
s
)
γ
(
s
)
d
s
⩽
0.
{\displaystyle {\mbox{sgn}}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}(\gamma (s)v(s))-\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,{\rm {d}}s\leqslant 0.}
Czyli
sgn
(
t
−
t
0
)
γ
(
t
)
v
(
t
)
⩽
sgn
(
t
−
t
0
)
∫
t
0
t
α
(
s
)
β
(
s
)
γ
(
s
)
d
s
.
{\displaystyle {\mbox{sgn}}(t-t_{0})\gamma (t)v(t)\leqslant {\mbox{sgn}}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,{\mbox{d}}s.}
Ostatecznie,
u
(
t
)
⩽
α
(
t
)
+
|
∫
t
0
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
|
=
α
(
t
)
+
sgn
(
t
−
t
0
)
v
(
t
)
⩽
α
(
t
)
+
|
∫
t
0
t
α
(
s
)
β
(
s
)
γ
(
s
)
γ
(
t
)
d
s
|
=
α
(
t
)
+
|
∫
t
0
t
α
(
s
)
β
(
s
)
e
|
∫
s
t
β
(
ξ
)
d
ξ
|
d
s
|
.
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}u(t)&\leqslant &\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\rm {d}}s\right|\\&=&\alpha (t)+{\mbox{sgn}}(t-t_{0})v(t)\\&\leqslant &\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s){\frac {\gamma (s)}{\gamma (t)}}\,{\mbox{d}}s\right|\\&=&\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,{\rm {d}}\xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.\end{array}}}
Postać różniczkowa nierówności [ edytuj | edytuj kod ] Niech I=[a,b] będzie odcinkiem na prostej rzeczywistej przy a<b . Niech β i u będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na odcinku I . Jeżeli u jest funkcją różniczkowalną na wnętrzu int(I)=(a,b) oraz zachodzi szacowanie
u
′
(
t
)
≤
β
(
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)u(t)}
t ∈ (a,b) , to zachodzi nierówność
u
(
t
)
≤
u
(
a
)
⋅
exp
(
∫
a
t
β
(
s
)
d
s
)
{\displaystyle u(t)\leq u(a)\cdot \exp \left(\int _{a}^{t}\beta (s)\mathrm {d} s\right)}
t ∈ I = [a,b] .
