Nierówność Jensena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność Jensena – nierówność między wartością funkcji wypukłej określonej dla kombinacji wypukłej pewnych argumentów a wypukłą kombinacją wartości funkcji w tych argumentach, przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.

Twierdzenie[edytuj]

Dla dowolnych liczb , nazywanych wagami, spełniających warunek:

,

dla dowolnego przedziału , dowolnych liczb

i dowolnej funkcji wypukłej w , prawdziwa jest nierówność:

Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

Dowód[edytuj]

Dowód indukcyjny ze względu na n.

Dla n = 1 nierówność jest oczywista. Dla n = 2 uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech . Założenie indukcyjne jest następujące:

gdzie należą do przedziału oraz

Teza indukcyjna to:

gdzie należą do przedziału oraz .

Niech oraz Bez straty ogólności można założyć, że Wówczas:

Korzystając z założenia indukcyjnego:

Z definicji funkcji wypukłej:

co kończy dowód.

Funkcja wklęsła[edytuj]

Aby udowodnić nierówność gdy jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:

co jest równoważne nierówności

Uwagi[edytuj]

  • W szczególności dla nierówność przyjmuje postać:
  • Korzystając z nierówności Jensena można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność między średnią arytmetyczną i geometrycznąj. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.

Nierówność Jensena w rachunku prawdopodobieństwa[edytuj]

Niech będzie funkcją wypukłą, będzie zmienną losową, oraz będą całkowalne. Wówczas dla wartości oczekiwanej nierówność ma postać:


Jeżeli ponadto jest odpowiednim σ-ciałem zdarzeń, to dla warunkowej wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]