Niezmiennik j

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Niezmiennik , inaczej -niezmiennik – pojęcie matematyczne wprowadzone przez Kleina, definiowalne na dwa sposoby - czysto algebraiczny, związany z krzywymi eliptycznymi oraz analityczny, jako specyficzna funkcja modularna.

Definicja analityczna[edytuj]

Niezmiennik , zapisywany definiuje się dla wartości zespolonych z górnej półpłaszczyzny zespolonej, tzn. takich, dla których . Używając jako punktu wyjścia funkcji theta Jacobiego, można zdefiniować w następujący sposób:

gdzie , i to, odpowiednio, funkcja theta Jacobiego oraz dwie funkcje pomocnicze theta. Inna możliwa definicja niezmiennika to:

gdzie to drugi niezmiennik modularny zdefiniowany w terminach szeregu Eisensteina (dokładnie, jako , gdzie to drugi wyraz tego szeregu), zaś to wyróżnik modularny.

Definicja algebraiczna[edytuj]

Niech

będzie krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem. Zdefiniujmy:

oraz

(wyróżnik krzywej). -niezmiennik takiej krzywej definiujemy jako:

W szczególnym przypadku, gdy charakterystyka ciała bazowego jest różna od 2 i 3, definicję tę możemy uprościć do postaci:

Własności[edytuj]

, rozumiany jako funkcja zespolona, jest tzw. absolutnym niezmiennikiem modularnym, co oznacza, że spełnia zależności: