Niezmiennik relatywistyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Sr1.svg
Zasada względności
Prędkość światła w próżni
Transformacja Lorentza
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Niezmiennik relatywistyczny – wielkość fizyczna, która jest niezmiennicza względem transformacji Lorentza w tym sensie, że jest tensorem w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni. Tensory określone w danym punkcie czasoprzestrzeni mogą mieć 0, 4, 16, 64, itd. składowych (są to skalary, czterowektory, tensory 2-go rzędu, itd). Tensory można przypisywać pojedynczym cząstkom, polom fizycznym lub punktom czasoprzestrzeni. Niezmieniczość tensorów wyraża się w tym, że ich składowe określone dla danego punktu czasoprzestrzeni w jednym układzie odniesienia wiążą się ze składowymi określonymi w tym samym punkcie czasoprzestrzeni w innym układzie odniesienia według ściśle określonych zależności, wynikających z transformacji Lorentza. Zależności te omówiono w artykule.

Liczba składowych niezmienników relatywistycznych[edytuj | edytuj kod]

Tensory definiowane w czasoprzestrzeni mają mają składowych (współrzędnych), gdzie - rząd tensora, przy tym współrzędne te są liczbami rzeczywistymi, powstającymi z rzutowania danego tensora na osie układu współrzędnych danego układu odniesienia (jest tu analogia do wyznaczania współrzędnych wektora w przestrzeni 3-wymiarowej). Ze względu na rząd tensory relatywistyczne dzieli się na:

Własności transformacyjne niezmienników relatywistycznych[edytuj | edytuj kod]

Ze względu na własności transformacyjne współrzędne tensorów dzieli się na:

Składowe kontrawariantne:

  • czteroskalarów wyrażają się 1 liczbą, identyczną w każdym inercjalnym układzie odniesienia
  • czterowektorów - dana wielkość jest 4-wektorem, jeżeli zmierzona przez dwóch różnych obserwatorów ma tę własność, że wyniki pomiarów 2-go obserwatora wiążą się z wynikami pomiarów 1-go obserwatora za pomocą macierzy transformacyjnej identycznej, jak macież wiążąca ze sobą różniczki 4-wektora położenia, określającego położenie punktu, w którym dokonano pomiarów, przy czym różniczki te zostały określone przez tych obserwatorów.
  • tensor kontrawariantny 2-go rzędu - to zespół 16 składowych, które transformują się z danego układu do innego tak jak transformują się do tego układu podwójne iloczyny różniczek 4-wektora położenia, itd.

Iloczyn skalarny 4-wektorów[edytuj | edytuj kod]

Każda wielkość fizyczna dająca się wyrazić jako funkcja iloczynu skalarnego czterowektorów jest niezmiennikiem relatywistycznym:

Uzasadnienie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dana transformacja relatywistyczna zadana przez tensor którego działanie na wektory A i B wyraża się jako:

Iloczyn skalarny nowych wektorów ma postać:

Jednak każda transformacja Lorentza spełnia równość:

Skąd otrzymujemy:

Inne skalarne niezmienniki relatywistyczne[edytuj | edytuj kod]

Interwał czasoprzestrzenny[edytuj | edytuj kod]

Jednym z niezmienników transformacji Lorentza jest interwał czasoprzestrzenny, czyli odległość między dwoma zdarzeniami w czasoprzestrzeni. Wyraża się on wzorem

gdzie:

  • - różnica między czasami zajścia zdarzeń
  • - odległościami przestrzenne między zdarzeniami wzdłuż osi X, Y, Z

Długość 4-wektora energii-pędu[edytuj | edytuj kod]

Czterowektor energii-pędu jest dany wyrażeniem

Długość tego 4-wektora wynosi

- długość ta jest równa wielkości masy spoczynkowej ciała mnożonej przez kwadrat prędkości światła - wartość ta nie zależy od tego, w jakim układzie określa się ją, gdyż a) masa spoczynkowa jest wielkością charakteryzującą cząstkę, np. elektoron ma inną masę spoczynkową niż proton itp. b) prędkość światła jest identyczna w każdym układzie odniesienia (zgodnie z postulatem Einsteina).