Norma macierzowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Norma macierzowa – naturalne rozszerzenie normy wektorowej na macierze.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathrm{Mat}_n(K) oznacza przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem K liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Normą macierzową nazywa się normę określoną na \mathrm{Mat}_n(K) spełniającą dodatkowo warunek podmultiplikatywności,

\|\mathbf{AB}\| \leqslant \|\mathbf A\| \|\mathbf B\|,

dla dowolnych macierzy \mathbf A, \mathbf B \in \mathrm{Mat}_n(K). Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha. Niekiedy wyrażenie norma macierzowa oznacza dowolne normy macierzy, a nie tylko spełniające powyższy warunek. W szczególności normą macierzową jest wartość bezwzględna albo moduł macierzy (spełnia ona aksjomaty normy i podmultiplikatywności) dane wzorem

|\mathbf A| = \bigl[|a_{ij}|\bigr]

gdzie |a_{ij}| oznacza wzięcie wartości bezwzględnych (modułów) elementów macierzy.

Niekiedy pierwszy aksjomat normy macierzowej podaje się w formie

\|\mathbf A\| \geqslant 0 oraz |\mathbf A| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy \mathbf A = \boldsymbol \Theta.

Normę nazywa się kanoniczną, jeżeli spełnia ona dodatkowo warunki

  • |a_{ij}| \leqslant \|\mathbf A\|, przy czym dla \mathbf A = [a_{11}] jest \|\mathbf A\| = |a_{11}|,
  • |\mathbf A| \leqslant |\mathbf B| pociąga \|\mathbf A\| \leqslant \|\mathbf B\|, w szczególności \|\mathbf A\| = \bigl\| |\mathbf A| \bigr\|.

Normy indukowane[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dane są normy \|\cdot\|_m, \|\cdot\|_n odpowiednio na przestrzeniach współrzędnych K^m oraz K^n, gdzie K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}, to normę indukowaną lub normę operatorową na przestrzeni macierzy typu n \times m definiuje się jednym z równoważnych wzorów

\begin{align} \|\mathbf A\| &= \max_{\|\mathbf x\|_n \leqslant 1}\bigl\{\|\mathbf {Ax}\|_m\colon \mathbf x \in K^n\bigr\} \\ &= \max_{\|\mathbf x\|_n = 1}\bigl\{\|\mathbf{Ax}\|_m\colon \mathbf x \in K^n\bigr\} \\ &= \max_{\mathbf x \ne \mathbf 0}\left\{\tfrac{\|\mathbf{Ax}\|_m}{\|\mathbf x\|_n}\colon \mathbf x \in K^n\right\}\end{align}.

Jeżeli m = n i w dziedzinie oraz przeciwdziedzinie występuje ta sama norma, to indukowana norma operatorowa jest normą macierzową (tzn. jest podmultiplikatywna).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładowo norma operatorowa odpowiadająca p-normie wektorowej to

\|\mathbf A\|_p = \max_{\mathbf x \ne \mathbf 0} \tfrac{\|\mathbf{Ax}\|_p}{\|\mathbf x\|_p}.

W szczególności normy

\|\mathbf A\|_1 = \max_j \sum_i |a_{ij}|,
\|\mathbf A\|_{\infty} = \max_i \sum_j |a_{ij}|

są uogólnieniem pierwszej normy wektorowej oraz normy „nieskończoność”.

Norma spektralna i promień spektralny[edytuj | edytuj kod]

Normę

\|\mathbf A\|_\operatorname{sp} = \sqrt{\max\bigl\{\lambda\colon \lambda \in \operatorname{sp}(\mathbf A^\star \mathbf A)\bigr\}}, gdzie A^\star oznacza macierz Hermitowską (Transponowaną dla macierzy o współczynnikach rzeczywistych)

gdzie \operatorname{sp}(\mathbf A) jest widmem (spektrum) macierzy \mathbf A, nazywa się normą spektralną.

Dla dowolnej normy indukowanej \|\cdot\| zachodzi oszacowanie

\|\mathbf A\| \geqslant \varrho(\mathbf A),

gdzie \varrho(\mathbf A) jest promieniem spektralnym \mathbf A; co więcej,

\lim_{r \to \infty}~\sqrt[r]{\|\mathbf A^r\|} = \varrho(\mathbf A).

Normy „po współrzędnych”[edytuj | edytuj kod]

W normach tego rodzaju macierze traktowane są jako wektory typu m \times n do których zastosowano jedne z dobrze znanych norm wektorowych.

Przykładowo korzystając z p-normy wektorowej dostaje się

\|\mathbf A\|_p = \left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p\right)^{1/p}.

Choć normy te mają to samo oznaczenie, różnią się od wyżej zdefiniowanych p-norm indukowanych (zob. wyżej) oraz p-norm Schattena (zob. niżej).

Szczególnymi przypadkami dla p = 2 jest norma Frobeniusa, a dla p = \infty norma maksimum.

Norma Frobeniusa[edytuj | edytuj kod]

Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Norma Frobeniusa lub norma Hilberta-Schmidta (drugi termin odnosi się zwykle do operatorów określonych na przestrzeniach Hilberta) definiowana jest wg wzoru

\|\mathbf A\|_F = \sqrt{\langle \mathbf A, \mathbf A\rangle} = \sqrt{\operatorname{tr}(\mathbf A^\star \mathbf A)} = \sqrt{\sum |a_{ij}|^2},

gdzie \operatorname{tr}(\mathbf A) jest śladem macierzy \mathbf A, a sumowanie przebiega po wszystkich kombinacjach i, j, a \mathbf A^\star = {\overline {\mathbf A}}^\operatorname T oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycję jej trywialnego sprzężenia).

Nazwa pochodzi od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka niemieckiego. Norma ta jest bezpośrednim uogólnieniem normy euklidesowej wektorów, czyli macierzy jednokolumnowych.

Norma maksimum[edytuj | edytuj kod]

Norma maksimum to norma brana „po współrzędnych” dla p = \infty:

\|\mathbf A\|_{\text{max}} = \max \bigl\{|a_{ij}|\bigr\}.

Norma ta nie jest podmultiplikatywna.

Normy Schattena[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: norma Schattena.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]