Norma macierzowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Norma macierzowa – naturalny odpowiednik normy wektorowej dla macierzy.

Definicje formalne[edytuj]

Niech oznacza przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Normą macierzową nazywa się normę określoną na spełniającą dodatkowo warunek podmultiplikatywności,

dla dowolnych macierzy Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha. Niekiedy wyrażenie norma macierzowa oznacza dowolne normy macierzy, a nie tylko spełniające powyższy warunek. W szczególności normą macierzową jest wartość bezwzględna albo moduł macierzy (spełnia ona aksjomaty normy i podmultiplikatywności) dane wzorem

gdzie oznacza wzięcie wartości bezwzględnych (modułów) elementów macierzy.

Niekiedy pierwszy aksjomat normy macierzowej podaje się w formie

oraz wtedy i tylko wtedy, gdy

Normę nazywa się kanoniczną, jeżeli spełnia ona dodatkowo warunki

  • przy czym dla jest
  • pociąga w szczególności

Normy indukowane[edytuj]

Jeżeli dane są normy odpowiednio na przestrzeniach współrzędnych oraz gdzie to normę indukowaną lub normę operatorową na przestrzeni macierzy typu definiuje się jednym z równoważnych wzorów

Jeżeli i w dziedzinie oraz przeciwdziedzinie występuje ta sama norma, to indukowana norma operatorowa jest normą macierzową (tzn. jest podmultiplikatywna).

Przykłady[edytuj]

Przykładowo norma operatorowa odpowiadająca -normie wektorowej to

W szczególności normy

są uogólnieniem pierwszej normy wektorowej oraz normy „nieskończoność”.

Norma spektralna i promień spektralny[edytuj]

Normę

gdzie oznacza macierz Hermitowską (Transponowaną dla macierzy o współczynnikach rzeczywistych)

gdzie jest widmem (spektrum) macierzy nazywa się normą spektralną.

Dla dowolnej normy indukowanej zachodzi oszacowanie

gdzie jest promieniem spektralnym co więcej,

Normy „po współrzędnych”[edytuj]

W normach tego rodzaju macierze traktowane są jako wektory typu do których zastosowano jedne z dobrze znanych norm wektorowych.

Przykładowo korzystając z -normy wektorowej dostaje się

Choć normy te mają to samo oznaczenie, różnią się od wyżej zdefiniowanych -norm indukowanych (zob. wyżej) oraz -norm Schattena (zob. niżej).

Szczególnymi przypadkami dla jest norma Frobeniusa, a dla norma maksimum.

Norma Frobeniusa[edytuj]

Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Norma Frobeniusa lub norma Hilberta-Schmidta (drugi termin odnosi się zwykle do operatorów określonych na przestrzeniach Hilberta) definiowana jest według wzoru

gdzie jest śladem macierzy a sumowanie przebiega po wszystkich kombinacjach a oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycję jej trywialnego sprzężenia).

Nazwa pochodzi od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka niemieckiego. Norma ta jest bezpośrednim uogólnieniem normy euklidesowej wektorów, czyli macierzy jednokolumnowych.

Norma maksimum[edytuj]

Norma maksimum to norma brana „po współrzędnych” dla

Norma ta nie jest podmultiplikatywna.

Normy Schattena[edytuj]

 Osobny artykuł: norma Schattena.

Zobacz też[edytuj]