Notacja wielowskaźnikowa

Notacja wielowskaźnikowa – notacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowa

Wielowskaźnik $n$-wymiarowy to wektor

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ oraz $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ określa się:

• sumę i różnicę (po współrzędnych),

  $\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\dots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n});$

• porządek częściowy,

  $\alpha \leqslant \beta \iff \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\qquad \forall _{i\in \{1,\dots ,n\}};$

• sumę współrzędnych (wartość bezwzględną),

  $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n};$

• silnię,

  $\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!;$

• symbol Newtona,

  ${\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}};$

• potęgę,

  $x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}};$

• pochodną cząstkową wyższych rzędów,

  $\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},$ gdzie $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:={\tfrac {\partial ^{\alpha _{i}}}{\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}}.$

Niektóre zastosowania

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie

$\left(\sum _{i=1}^{n}~x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}~{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }$

Wzór Leibniza

Dla funkcji gładkich $f$ i $g$

$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.$

Szereg Taylora

Dla funkcji analitycznej $f$ o $n$ zmiennych jest

$f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.$

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

$f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leqslant n}~{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),$

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się

$R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}~{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int \limits _{0}^{1}~{(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt}.$

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci

Operator różniczki cząstkowej $n$-tego rzędu $n$ zmiennych zapisuje się formalnie jako

$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leqslant N}~{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.$

Całkowanie przez części

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ jest

$\int \limits _{\Omega }~{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{\Omega }~{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.$

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie

Jeżeli $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ są wielowskaźnikami, a $x=(x_{1},\dots ,x_{n}),$ to

$\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}$

Dowód

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli $\alpha ,\beta \in \{0,1,2,\dots \},$ wtedy

${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}\qquad (1)$

Załóżmy, że $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}),$ $\beta =(\beta _{1},\dots ,\beta _{n}),$ $x=(x_{1},\dots ,x_{n}).$ Wtedy

${\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots x_{n}^{\beta _{n}}\\[1ex]&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$

Dla każdego $i\in \{1,\dots ,n\},$ funkcja $x_{i}^{\beta _{i}}$ zależy wyłącznie od $x_{i}.$ Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego ${\tfrac {d}{dx_{i}}}.$ Stąd z równania (1) wynika, że $\partial ^{\alpha }x^{\beta }$ znika, jeśli $\alpha _{i}>\beta _{i}$ dla przynajmniej jednego $i\in \{1,\dots ,n\}.$ W przeciwnym wypadku, tzn. gdy $\alpha \leqslant \beta$ jako wielowskaźniki, wtedy

${\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}$

dla każdego $i,$ skąd wynika twierdzenie.

Bibliografia

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9.