Obrót

Obrót dookoła punktu $P$$P$ o kąt skierowany $\alpha$$\alpha$ jest to odwzorowanie geometryczne $O_{P}^{\alpha }$$O_{P}^{\alpha }$ płaszczyzny na siebie, takie, że:
1. jeśli $P=Q\,$$P=Q\,$, to $O_{P}^{\alpha }(Q)=P$$O_{P}^{\alpha }(Q)=P$
2. jeśli $P\neq Q$$P\neq Q$, to $O_{P}^{\alpha }(Q)=Q'$$O_{P}^{\alpha }(Q)=Q'$, gdzie $PQ'=PQ\,$$PQ'=PQ\,$ oraz kąty skierowane $\angle QPQ'{\mbox{ i }}\alpha$$\angle QPQ'{\mbox{ i }}\alpha$ są przystające.
Punkt $P$$P$ nazywa się środkiem obrotu, a kąt $\alpha$$\alpha$ kątem obrotu $O_{P}^{\alpha }$$O_{P}^{\alpha }$.

Jeżeli $\alpha$$\alpha$ jest kątem zerowym lub kątem pełnym, to niezależnie od punktu $P$$P$, obrót $O_{P}^{\alpha }$$O_{P}^{\alpha }$ jest odwzorowaniem tożsamościowym, które nazywane jest obrotem zerowym.

Obrót płaszczyzny o kąt skierowany półpełny jest symetrią środkową.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych $S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}$$S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}$ o osiach $l_{1}$$l_{1}$ i $l_{2}$$l_{2}$ przecinających się w punkcie $P$$P$ jest obrotem dookoła punktu $P$$P$ o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste $l_{1}$$l_{1}$ i $l_{2}$$l_{2}$.

Obrót $O_{P}^{\alpha }$$O_{P}^{\alpha }$ jest izometrią parzystą płaszczyzny, mającą przynajmniej jeden punkt stały.
Okręgi i koła o środku w punkcie $P\,$$P\,$ są figurami stałymi obrotu $O_{P}^{\alpha }$$O_{P}^{\alpha }$.

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie o kąt $\beta \,$$\beta \,$ punktu $P=(x,y)\,$$P=(x,y)\,$ można opisać wzorem analitycznym $O_{(0,0)}^{\beta }(P)=(x^{\prime },y^{\prime })$$O_{(0,0)}^{\beta }(P)=(x^{\prime },y^{\prime })$, gdzie

$\left\{{\begin{array}{l}x^{\prime }=x\cdot \cos \beta -y\cdot \sin \beta \\y^{\prime }=x\cdot \sin \beta +y\cdot \cos \beta \end{array}}\right.$$\left\{{\begin{array}{l}x^{\prime }=x\cdot \cos \beta -y\cdot \sin \beta \\y^{\prime }=x\cdot \sin \beta +y\cdot \cos \beta \end{array}}\right.$.

Obrót na płaszczyźnie zespolonej punktu $z=x+iy\,$$z=x+iy\,$ wokół początku układu współrzędnych o kąt $\phi \,$$\phi\,$ można wyrazić wzorem $O_{0}^{\phi }(z)=z(\cos \phi +i\sin \phi )$$O_{0}^{\phi }(z)=z(\cos \phi +i\sin \phi )$.

Zobacz też

• grupa obrotów
• grupa SO(2)
• grupa SO(3)
• grupa SU(2)