Obrót

Obrót dookoła punktu $P$ o kąt skierowany $\alpha$ jest to odwzorowanie geometryczne $O_{P}^{\alpha }$ płaszczyzny na siebie, takie, że:

1. jeśli $P=Q,$ to $O_{P}^{\alpha }(Q)=P,$
2. jeśli $P\neq Q,$ to $O_{P}^{\alpha }(Q)=Q',$ gdzie $PQ'=PQ$ oraz kąty skierowane $\angle QPQ'{\mbox{ i }}\alpha$ są przystające.

Punkt $P$ nazywa się środkiem obrotu, a kąt $\alpha$ kątem obrotu $O_{P}^{\alpha }.$

Jeżeli $\alpha$ jest kątem zerowym lub kątem pełnym, to niezależnie od punktu $P,$ obrót $O_{P}^{\alpha }$ jest odwzorowaniem tożsamościowym, które nazywane jest obrotem zerowym.

Obrót płaszczyzny o kąt skierowany półpełny jest symetrią środkową.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych $S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}$ o osiach $l_{1}$ i $l_{2}$ przecinających się w punkcie $P$ jest obrotem dookoła punktu $P$ o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste $l_{1}$ i $l_{2}.$

Obrót $O_{P}^{\alpha }$ jest izometrią parzystą płaszczyzny, mającą przynajmniej jeden punkt stały.
Okręgi i koła o środku w punkcie $P$ są figurami stałymi obrotu $O_{P}^{\alpha }.$

Geometria analityczna

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie o kąt $\beta$ punktu $P=(x,y)$ można opisać wzorem analitycznym $O_{(0,0)}^{\beta }(P)=(x',y'),$ gdzie:

${\begin{cases}x'=x\cdot \cos \beta -y\cdot \sin \beta \\[2pt]y'=x\cdot \sin \beta +y\cdot \cos \beta \end{cases}}$.

Obrót na płaszczyźnie zespolonej punktu $z=x+iy$ wokół początku układu współrzędnych o kąt $\phi$ można wyrazić wzorem $O_{0}^{\phi }(z)=z(\cos \phi +i\sin \phi ).$

Zobacz też

• grupa obrotów
• grupa SO(2)
• grupa SO(3)
• grupa SU(2)