Obraz (matematyka)

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.

Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny.

Obraz funkcji to obraz jej całej dziedziny; dla funkcji $f:X\to Y$ oznacza się go $f[X],f(X),\operatorname {im} (f)$ (ang. image – obraz) lub $W_{f}$:

$\{y\in Y:\exists x\in X\ y=f(x)\}.$

Zbiór ten jest też znany jako zbiór wartości lub przeciwdziedzina, przy czym dwie dalsze nazwy bywają stosowane wymiennie. Inne źródła definiują te dwa terminy inaczej niż obraz funkcji.

Obraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej $f\colon X\to Y$ oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru $X$ w zbiór $Y.$

Obraz elementu

Jeżeli $x$ jest elementem $X,$ to $f(x)=y,$ czyli wartość funkcji $f$ na elemencie $x,$ nazywa się obrazem $x$ poprzez $f.$

Obraz zbioru

Obrazem zbioru $A\subseteq X$ w funkcji $f$ nazywa się podzbiór $f[A]\subseteq Y$ wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór

$\left\{y\in Y\colon f(x)=y{\text{ dla pewnego }}x\in A\right\}=\left\{f(x)\in Y\colon x\in A\right\}.$

Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast $f[A]$ pisze się $f(A).$ Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez $f$ jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru $X,$ a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru $Y.$

Notacja

Powyższe sposoby zapisu mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą może być oddzielny symbol dla obrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa

$f^{\to }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),$ gdzie $f^{\to }(A)=\{f(a)\colon a\in A\},$

Notacja gwiazdkowa

$f_{\star }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ zamiast $f^{\to },$

Inne

Alternatywną notacją $f[A]$ wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest $f''A$.

Przykłady

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania $\Psi _{M}.$

Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego.

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.

• $f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ określona wzorem $f(x)={\begin{cases}a&{\text{dla }}x=1,2\\c&{\text{dla }}x=3.\end{cases}}$

  Obrazem zbioru $\{2,3\}$ poprzez $f$ jest $f[\{2,3\}]=\{a,c\}.$ Obrazem funkcji jest $\{a,c\}.$

• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=x^{2}.$

  Obrazem $\{-2,3\}$ w $f$ jest $f[\{-2,3\}]=\{4,9\},$ a obrazem $f$ jest $\mathbb {R} ^{+}.$

• Jeżeli $M$ jest rozmaitością, a $\pi \colon \operatorname {T} M\to M$ jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej $\operatorname {T} M$ na $M,$ to przestrzenie styczne $\operatorname {T} _{x}(M)$ dla $x\in M.$ Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności

Ogólne

Niech dana będzie funkcja $f\colon X\to Y.$ Dla wszystkich podzbiorów $A,A_{1},A_{2}\subseteq X$ oraz $B,B_{1},B_{2}\subseteq Y$ zachodzą następujące własności:

• obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny:

  $f[A]\subseteq Y;$

• operacja obrazu jest monotoniczna, tzn.

  $A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left[A_{1}\right]\subseteq f\left[A_{2}\right]$ oraz

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. $|f[A]|\leqslant |A|,$ a równość zachodzi dla iniekcji (funkcji różnowartościowych).

Związki z algebrą zbiorów

Zachodzą też poniższe związki z działaniami na zbiorach jak ich suma $(\cup )$ i przekrój $(\cap )$:

$f[A\cup B]=f[A]\cup f[B],$

$f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B].$

W drugim wzorze zachodzi równość, jeśli funkcja jest różnowartościowa (iniektywna). Z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:

$f\left[A\setminus B\right]\supseteq f[A]\setminus f[B],$

Powyższe związki obrazu z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów. Przez indukcję można udowodnić, że zachodzą dla dowolnej skończonej liczby zbiorów, a oprócz tego zachodzą dla dowolnej rodziny podzbiorów, także nieprzeliczalnej. Niech $(A_{i})_{i\in I}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów $X,$ a $(B_{j})_{j\in J}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów $Y.$ Wówczas

• $f\left[\bigcup A_{i}\right]=\bigcup f\left[A_{i}\right],$
• $f\left[\bigcap A_{i}\right]\subseteq \bigcap f\left[A_{i}\right]$

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania obrazu jest homomorfizmem półkrat, lecz nie krat, ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje.

Związki z przeciwobrazem

Istnieją też ogólne związki obrazu z pojęciem przeciwobrazu:

• $f[f^{-1}[B]]\subseteq B,$ równość dla funkcji „na” (suriekcji);
• $f^{-1}[f[A]]\supseteq A,$ równość dla funkcji różnowartościowych (iniekcji).
• $f[A]\subseteq B\Leftrightarrow A\subseteq f^{-1}[B].$

Bibliografia

• Thomas ScottT.S. Blyth Thomas ScottT.S., Lattices and Ordered Algebraic Structures, London: Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5, OCLC 262677746 .
• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.

Literatura dodatkowa

• Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991. ISBN 81-203-0871-9.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Image, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Range, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Range of values (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-21].