Obszar

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Obszarzbiór otwarty i spójny.[1]

Domknięcie obszaru nazywane jest obszarem domkniętym. Zbiór domknięty nazywa się brzegiem obszaru . Punkty nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru , a punkty nazywane są punktami brzegowymi obszaru [2].

Od lewej: obszar jednospójny, obszar trzyspójny, obszar czterospójny

Obszar nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w ściągalna do punktu)[3]. Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Brzeg obszaru może mieć składowych, gdzie . Jeśli , to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba jest nazywana rzędem spójności. Jeśli , obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli - obszarem trzyspójnym itd. Jeśli , to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli - obszarem nieskończeniespójnym[4].

Pojęcie to ma podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana.

Przykłady[edytuj]

Przykład obszaru, którego brzeg zawiera punkty niedostępne.
  • Na prostej obszarami są przedziały liczbowe. Brzeg takiego obszaru jest zawsze zbiorem co najwyżej dwupunktowym[5].
  • Obszar nieskończeniespójny można uzyskać, usuwając z koła otwartego o promieniu 2 rozłączne koła domknięte o promieniach . Brzeg tego obszaru jest sumą mnogościową okręgu koła o promieniu 2 i okręgów ograniczających usunięte koła.
  • Obszar jednospójny może mieć dość skomplikowany brzeg, zawierający punkty niedostępne w następującym sensie: nie istnieje krzywa ciągła ,gdzie jest przedziałem domkniętym na osi rzeczywistej, taka że obrazy wszystkich punktów przedziału, poza punktem (należącym do brzegu ), należą do obszaru . Takimi punktami będą na przykład punkty prawego boku kwadratu na rysunku obok, z którego usunięto odcinki wychodzące prostopadle naprzemiennie z dolnego i górnego boku tego kwadratu, zbliżające się do prawego boku i o długościach dążących do długości boku kwadratu[6]
  • Każde dwa punkty obszaru położonego w płaszczyźnie zespolonej dają się połączyć łamaną.
Niech będzie obszarem. Dla każdego niech będzie zbiorem tych punktów obszaru , które dadzą się połączyć z łamaną. Dla każdego zbiór jest zbiorem otwartym, bo jeśli , to z punktem można połączyć łamaną każdy punkt kuli . Z drugiej strony zbiór:
jest również zbiorem otwartym, a zatem ze względu na spójność zbioru zbiór , czyli [7].
  • Własność ta jest spełniona dla obszarów w przestrzeni euklidesowej oraz dla obszarów przestrzeni zespolonej , przy czym istnieje wtedy łamana łącząca dwa punkty obszaru składająca się ze skończonej liczby odcinków[8].
  • Powyższa własność jest również spełniona dla obszaru każdej topologicznej przestrzeni wektorowej.
  • Każdy zbiór otwarty jest sumą obszarów, bo:
.


Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, s. 257, seria: Biblioteka matematyczna (BM 9).
  2. И. М. Виноградов (redaktor): Математическая энциклопедия. Wyd. 1. T. 3, Коо-Од. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 1098.
  3. Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098
  4. Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098
  5. Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098
  6. A. И. Мaркушевич: Тeopия аналитических функций. Wyd. 1. T. 1. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1950, s. 406.
  7. Kuratowski, op. cit., s. 257
  8. Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098