Obwiednia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: obwiednia sygnału (ogólnie), obwiednia dźwięku (syntezatory).

Obwiednia (ang. envelope) – matematyczne pojęcie z zakresu geometrii różniczkowej. Obwiednia rodziny rozmaitości różniczkowych (w szczególności rodziny krzywych lub powierzchni) jest rozmaitością w każdym swoim punkcie styczną do pewnego członka tej rodziny. W otoczeniu dowolnego punktu należącego do obwiedni znajdują się zatem zarówno punkty należące do członków tej rodziny, jak i punkty nie należące do żadnego z członków.

Obwiednia powierzchni parametrycznej[edytuj]

Definicja[edytuj]

Obwiednia rodziny prostych

Niech dane będzie odwzorowanie p opisujące (n-1)-wymiarową powierzchnię zanurzoną w n-wymiarowej przestrzeni w czasie :

Obwiednią E powierzchni p względem parametru t jest zbiór punktów spełniających warunek:

gdzie jest liniową podprzestrzenią styczną do powierzchni p w punkcie p(u,t=const). Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach (dla i = 0, ..., n-1). Opisany warunek można zapisać:

Powierzchnia trójwymiarowa[edytuj]

Dla przypadku trójwymiarowego (n=3) równanie obwiedni powierzchni ma postać:

Powyższe równanie może być zapisane z użyciem iloczynu skalarnego wektora oraz wektora normalnego do powierzchni p w punkcie :

gdzie jest iloczynem wektorowym pochodnych cząstkowych odwzorowania p:

Przykład[edytuj]

Obwiednią poruszającego się wzdłuż osi OX jednostkowego okręgu w dwuwymiarowej przestrzeni OXY są dwie proste oraz

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY jest sparametryzowany kątem :

pochodne cząstkowe względem i wynoszą:

Równanie obwiedni ma zatem postać:

zaś samą obwiednię stanowią dwie proste oraz na płaszczyźnie OXY.

Obwiednia powierzchni implicite[edytuj]

Definicja[edytuj]

Niech dana będzie powierzchnia w przestrzeni n-wymiarowej opisana równaniem:

gdzie , oraz . Obwiednią E powierzchni opisanej przy pomocy są punkty , dla których spełnione są:

Przykład[edytuj]

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY opisany jest za pomocą:

Pochodna cząstkowa względem wynosi:

Równanie obwiedni ma zatem postać:

z czego wynika, iż samą obwiednię stanowią dwie proste .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Flaquer J., Garate G., Pargada M.: Envelopes of moving quadric surfaces, CAGD 9 1992.
  2. Eisenhart L.P.: A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover, 2004.

Linki zewnętrzne[edytuj]