Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Odległość Bhattacharyya jest miarą stosowaną w statystyce do oszacowania różnicy między dwoma rozkładami prawdopodobieństwa . Jest specjalnym przypadkiem bardziej ogólnej odległości Chernoffa .
Dane mamy dwa rozkłady prawdopodobieństwa
p
1
,
p
2
.
{\displaystyle p_{1},p_{2}.}
Współczynnik Bhattacharyya definiuje się jako[1]
ρ
=
∫
p
1
(
x
)
p
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle \rho =\int {\sqrt {p_{1}(x)p_{2}(x)}}dx}
Odległość Bhatacharyya definiuje się jako:
d
b
(
p
1
,
p
2
)
=
−
ln
ρ
{\displaystyle d_{b}(p_{1},p_{2})=-\ln \rho }
Współczynnik
ρ
{\displaystyle \rho }
leży w przedziale
[
0
,
1
]
,
{\displaystyle [0,1],}
zatem
0
⩽
d
b
⩽
∞
{\displaystyle 0\leqslant d_{b}\leqslant \infty }
Wzory dla poszczególnych rozkładów [ edytuj | edytuj kod ]
Typ rozkładu
Wzór rozkładu
p
i
(
x
)
{\displaystyle p_{i}(x)}
Wartość
d
b
(
p
1
,
p
2
)
{\displaystyle d_{b}(p_{1},p_{2})}
Jednowymiarowy rozkład Gaussa :
N
(
μ
i
,
σ
i
)
{\displaystyle N(\mu _{i},\sigma _{i})}
1
σ
i
2
π
exp
(
−
(
x
−
μ
i
)
2
2
σ
i
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu _{i})^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}}\right)}
1
4
(
μ
1
−
μ
2
)
2
σ
1
2
+
σ
2
2
+
1
2
ln
(
σ
1
2
+
σ
2
2
2
σ
1
σ
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{4}}{\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}{2\sigma _{1}\sigma _{2}}}\right)}
n-wymiarowy rozkład Gaussa :
N
(
μ
i
,
C
i
)
{\displaystyle N(\mu _{i},C_{i})}
1
(
2
π
)
n
/
2
|
C
i
|
1
/
2
exp
(
−
1
2
(
x
−
μ
i
)
T
C
i
−
1
(
x
−
μ
i
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}|C_{i}|^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu _{i})^{T}C_{i}^{-1}(x-\mu _{i})\right)}
1
8
(
μ
1
−
μ
2
)
T
C
−
1
(
μ
1
−
μ
2
)
+
1
2
ln
(
|
C
|
|
C
1
|
|
C
2
|
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{8}}(\mu _{1}-\mu _{2})^{T}C^{-1}(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {|C|}{\sqrt {|C_{1}||C_{2}|}}}\right),}
gdzie
C
=
C
1
+
C
2
2
{\displaystyle C={\frac {C_{1}+C_{2}}{2}}}
Rozkład Poissona
e
−
λ
i
λ
i
k
k
!
δ
(
x
−
λ
i
)
{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda _{i}}\lambda _{i}^{k}}{k!}}\delta (x-\lambda _{i})}
1
2
(
λ
1
−
λ
2
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}({\sqrt {\lambda _{1}}}-{\sqrt {\lambda _{2}}})^{2}}
↑ Thomas Kailath, The Divergence and Bhattacharyya Distance Measures in Signal Selection , „IEEE Transactions on Communication Technology”, Vol. 15, No. 1, luty 1967.