Odległość punktu od prostej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych: jeżeli punkt P ma współrzędne , a prosta k dana jest równaniem ogólnym , to odległość punktu P od prostej k wyrażona jest wzorem:


Ilustracja wyprowadzenia wyrażenia wektorowego.

Prostą można ogólnie przedstawić wektorowo jako zbiór punktów

gdzie wektor a jest ustalonym punktem prostej, zaś n jej wersorem (jednostkowym wektorem kierunkowym). Rzeczywisty parametr t określa odległość, o jaką punkt x jest przesunięty od a w kierunku n.

Odległość dowolnego punktu p od tej prostej wyraża się przez

Wzór ten stosuje się w dowolnej liczbie wymiarów. Skonstruowany został geometrycznie następująco: jest wektorem od danego punktu p do punktu a na prostej. Zatem jest długością rzutu tego wektora na daną prostą (kropka reprezentuje tu iloczyn skalarny wektorów) i wobec tego

jest wektorem – rzutem wektora na prostą. Stąd wektor

jest składową wektora prostopadłą do danej prostej, a jego norma szukaną odległością.