Odwrotna dystrybuanta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Odwrotna dystrybuanta – uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana \Phi^{-1}(p)

Jeżeli dystrybuanta \Phi(x) jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

\Phi^{-1}(p) = \{ x \in \R : p = \Phi(x) \}, gdzie  p \in (0,1) .

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się definiując dystrybuantę odwrotną jako:

\Phi^{-1}(p) = \inf \{ x \in \R : p \le \Phi(x) \}, gdzie  p \in (0,1) .

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

  • \Phi^{-1}(p) jest rosnąca dla  p \in (0,1) ,
  • \Phi^{-1}(p) jest lewostronnie ciągła dla  p \in (0,1) ,
  • \Phi^{-1}(\Phi(x)) \le x dla x \in \R takiego, że \Phi(x) \in (0,1),
  • p \le \Phi(\Phi^{-1}(p)) dla  p \in (0,1) .

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego[edytuj | edytuj kod]

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu \operatorname{erf}:


\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p)
= \mu + \sigma\Phi^{-1}(p)
= \mu + \sigma\sqrt2
\; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1),
\quad p\in(0,1).

gdzie:

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Odwrotną dystrybuantę stosuje się m. in. przy przekształcaniu zmiennych losowych o rozkładzie równomiernym na zmienne losowe o dowolnym innym rozkładzie prawdopodobieństwa[1], wg wzoru:


Y=\Phi^{-1}(X),

gdzie:

  • Y to zmienna losowa o pożądanym rozkładzie prawdopodobieństwa,
  • \Phi to dystrybuanta tego rozkładu,
  • X to zmienna losowa o rozkładzie równomiernym w przedziale (0,1).

Przypisy

  1. Prof. dr hab. Wojciech Niemiro, "Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo" (Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego). Wykład 3: "Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody", pkt 3.2.1. Tekst online