Odwzorowania otwarte i domknięte

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Odwzorowanie otwarte i odwzorowanie domknięte – terminy w topologii odnoszące się do specjalnych własności funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.

Definicje[edytuj]

Niech i będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że funkcja jest otwarta, jeśli obraz każdego otwartego podzbioru jest otwarty w . Tak więc jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy

Pojęcie funkcji domkniętej jest wprowadzane podobnie, zastępując zbiory otwarte przez podzbiory domknięte. Czyli jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy obraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, który to warunek można zapisać jako

W powyższych definicjach nie zakładano żadnych dodatkowych własności funkcji , w szczególności nie musi być ona ciągła. Jednak niektórzy autorzy wymagają dodatkowo, że funkcja jest ciągła (wtedy więc odwzorowania otwarte i odwzorowania domknięte są funkcjami ciągłymi), por. Kuratowski[1], Engelking[2]

Przykłady[edytuj]

  • Każdy homeomorfizm przestrzeni topologicznych jest zarówno odwzorowaniem otwartym, jak i odwzorowaniem domkniętym.
  • Rzut odwzorowujący trójwymiarową przestrzeń euklidesową na daną płaszczyznę jest ciągłym odwzorowaniem otwartym, które nie jest domknięte. Podobnie dla rzutów płaszczyzny na proste.
  • Jeśli jest produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych, oraz

jest rzutem na -tą wspołrzędną, to jest ciągłym odwzorowaniem otwartym z przestrzeni na przestrzeń .
  • Jeśli jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja jest odwzorowaniem domkniętym i otwartym (ale taka funkcja nie musi być ciągła).
  • Funkcja jest ciągłą funkcją domkniętą. Nie jest ona otwarta (np. obraz całej przestrzeni nie jest otwartym podzbiorem ). Natomiast ta sama funkcja traktowana jako odwzorowanie jest otwarta. Przykład ten pokazuje, że pojęcia wprowadzone tutaj zależą od wyboru przeciwdziedziny funkcji.

Charakteryzacje i własności[edytuj]

  • Niech . Wówczas
(a) jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru i każdego domkniętego zbioru , takiego że , istnieje zbiór domknięty , taki że i ;
(b) jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru i każdego otwartego zbioru , takiego że , istnieje otwarty zbiór , taki że i .
  • Złożenie funkcji otwartych jest funkcją otwartą, podobnie złożenie funkcji domkniętych jest odwzorowaniem domkniętym.
  • Funkcja jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza topologii na , taka że jest otwarte w dla każdego .
  • Jeśli jest przestrzenią zwartą i jest przestrzenią Hausdorffa, to każda funkcja ciągła jest odwzorowaniem domkniętym.
  • Przypuśćmy, że odwzorowanie jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) Odwzorowanie jest homeomorfizmem.
(ii) Odwzorowanie jest domknięte i ciągłe.
(iii) Odwzorowanie jest otwarte i ciągłe.
(iv) Dla każdego zbioru ,

jest domknięty w wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w .

(v) Dla każdego zbioru ,

jest otwarty w wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 115.
  2. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strony 31-32. ISBN 3-88538-006-4