Operator Laplace’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Operator Laplace'a)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator Laplace’a (laplasjan)operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych. Jego nazwa pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a.

Znajduje on wiele zastosowań w modelach fizycznych, pojawiając się na przykład w równaniu przewodnictwa cieplnego, propagacji fal, równaniu Helmholtza. W mechanice kwantowej występuje jako część hamiltonianu oraz jako przestrzenna składowa operatora d’Alemberta. W probabilistyce laplasjan jest generatorem procesu Wienera. Operator ten w działaniu na funkcję skalarną f można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji w tej kolejności

a w działaniu na funkcję wektorową w jego definicji występuje dodatkowo operator rotacji

Dla funkcji skalarnej operator Laplace’a w układzie kartezjańskim ma postać:

a w dowolnym n-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych:

gdzie:

qi – i-ta współrzędna
hiwspółczynniki Lamego, hi = (gii) 1/2
gii to diagonalne wyrazy tensora metrycznego.

Wzór ten dla n = 3 w sferycznym układzie współrzędnych przyjmuje postać:

Analogiczne rozważanie dla układu współrzędnych walcowych prowadzi do wzoru:

Dla funkcji wektorowej działanie operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim wyraża się przez zdefiniowany wyżej operator Laplace’a skalarnych współrzędnych tej funkcji wektorowej:

W innych układach współrzędnych jego działanie wyraża się bardziej złożonymi wzorami.

Zobacz też[edytuj]