Operator Laplace’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator Laplace’a (laplasjan)operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

(1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.

(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.

Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie[edytuj | edytuj kod]

Definicja operatora Laplace’a w -wymiarowym układzie kartezjańskim

Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]

(1) Operator Laplace’a w -wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać

gdzie:

  • – współrzędne krzywoliniowe,
  • współczynniki Lamego, tj.

gdzie:

Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.

(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy

czyli

Współrzędne sferyczne[edytuj | edytuj kod]

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych

lub

Współrzędne walcowe[edytuj | edytuj kod]

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych

Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru[edytuj | edytuj kod]

Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.

Współrzędne sferyczne są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą zależności

Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)

zatem współczynniki Lamego są następujące

Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór

Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]

Operator Laplace’a w -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać

(1) ogólny wzór

(2) z użyciem symboli

gdzie:

– odwrotny tensor metryczny,
symbole Christoffela układu krzywoliniowego.

(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego

gdzie:

– wyznacznik tensora metrycznego.

(patrz równanie Voss-Weyla dotyczące dywergencji)

Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją[edytuj | edytuj kod]

Słuszne są następujące twierdzenia:

Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji

lub równoważnie

Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej wyraża się przez operatory gradientu i rotacji

lub równoważnie

Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru

lub równoważnie

Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową[edytuj | edytuj kod]

Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci

tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości obliczone z funkcji współrzędnych tej funkcji wektorowej, tj.

lub równoważnie

W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, PWN, Warszawa 1975, Tom 1.