Operator Laplace’a

Operator Laplace’a, laplasjan – operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać:

$\triangle \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe $n$-wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Zastosowania

(1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.

• w równaniu przewodnictwa cieplnego
• w równaniu falowym
• jako część hamiltonianu
• jako przestrzenna składowa operatora d’Alemberta

(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.

Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie

Definicja operatora Laplace’a w $n$-wymiarowym układzie kartezjańskim

$\triangle \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\dots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.$

Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe

(1) Operator Laplace’a w $n$-wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać

$\triangle ={\frac {1}{h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\frac {h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\right),$

gdzie:

• $q_{i},i=1,\dots ,n$ – współrzędne krzywoliniowe,
• $h_{i}$ – współczynniki Lamego, tj.
• $h_{i}={\sqrt {g_{ii}}},$

gdzie:

• $g_{ii}$ – wyrazy diagonalne kowariantnego tensora metrycznego we współrzędnych krzywoliniowych.

Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną ${\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$ w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.

(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy

$\triangle ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\right),$

czyli

$\triangle ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\right)\right].$

Współrzędne sferyczne

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych $r,\theta ,\varphi$

$\triangle ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)$

lub

$\triangle ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r+{\frac {1}{r^{2}}}\left(\operatorname {ctg} \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right).$

Współrzędne walcowe

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych $\rho ,\theta ,z$

$\Delta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru

Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.

Współrzędne sferyczne $(r,\theta ,\phi )$ są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi $x,y,z$ za pomocą zależności

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}$

Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)

$g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

zatem współczynniki Lamego są następujące

${\begin{cases}h_{1}=1\\h_{2}=r\\h_{3}=r\sin \theta \end{cases}}$

Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w $3$-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór

$\triangle ={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)$

Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe

Operator Laplace’a w $n$-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych $q^{1},\dots ,q^{n}$ ma postać

(1) ogólny wzór

$\nabla ^{2}=\nabla q^{m}\cdot \nabla q^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{m}\partial q^{n}}}+\nabla ^{2}q^{m}{\frac {\partial }{\partial q^{m}}}.$

(2) z użyciem symboli $\Gamma _{mn}^{l}$

$\nabla ^{2}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{m}\partial q^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial q^{l}}}\right),$

gdzie:

$g^{mn}$ – odwrotny tensor metryczny,

$\Gamma _{mn}^{l}$ – symbole Christoffela układu krzywoliniowego.

(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego $g^{ij}$

$\nabla ^{2}={\frac {1}{\sqrt {|\det g|}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {|\det g|}}\,g^{ij}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}}\right),$

gdzie:

$\det g$ – wyznacznik tensora metrycznego.

(patrz równanie Voss-Weyla dotyczące dywergencji)

Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją

Słuszne są następujące twierdzenia:

Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej $f$ jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji

$\triangle f=\operatorname {div} \ (\operatorname {grad} \ f)$

lub równoważnie

$\Delta f\equiv \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla f.$

Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej ${\vec {F}}$ wyraża się przez operatory gradientu i rotacji

$\triangle {\vec {F}}=\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\vec {F}})-{\operatorname {rot} }(\operatorname {rot} {\vec {F}})$

lub równoważnie

$\Delta {\vec {F}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {F}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {F}}).$

Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru

$\Delta (fg)=f\Delta (g)+2\nabla f\cdot \nabla g+g\Delta (f)$

lub równoważnie

$\nabla ^{2}(fg)=f\,\,\nabla ^{2}\!g+2\,\nabla f\cdot \nabla g+g\,\,\nabla ^{2}\!f.$

Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową

Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci

${\vec {F}}=[F_{1},\dots ,F_{n}]\equiv \sum _{k=1}^{n}F_{k}\,{\hat {e}}_{k}$

tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości $\triangle F_{k}$ obliczone z funkcji współrzędnych $F_{k}$ tej funkcji wektorowej, tj.

$\triangle {\vec {F}}=[\Delta F_{1},\dots ,\Delta F_{n}]$

lub równoważnie

$\triangle {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{n}(\triangle F_{k}){\hat {e}}_{k}.$

W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.

Zobacz też

• zagadnienie własne dla operatora Laplace’a

Operatory różniczkowe

(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów)
• czterogradient
• operator d’Alemberta

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

• dywergencja
• gradient
• operator nabla
• operator nabla w różnych układach współrzędnych
• rotacja

(3) Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej

• dywergencja na rozmaitości
• gradient na rozmaitości
• operator Laplace’a na rozmaitości

Bibliografia

• F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, Tom 1.