Operator delta

Operator delta – pewien wariant operatora równoważny przekształceniu liniowemu $Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]$ w przestrzeni wektorowej wielomianów ze zmienną $x,$ nad ciałem $\mathbb {K} ,$ które redukuje stopnie o jeden.

Wstęp

Stwierdzenie, że $Q$ jest pewnym wariantem operatora równoważnego operatorowi przesunięcia znaczy, że jeśli $g(x)=f(x+a),$ to wówczas

$(Qg)(x)=(Qf)(x+a).$

Innymi słowy, jeśli $f$ jest „przesunięciem” $g,$ wówczas $Qf$ jest także przesunięciem $Qg,$ i ma taki sam „wektor przesunięcia” $a.$

Stwierdzenie, że operator redukuje stopień o jeden oznacza, że jeśli $f$ jest wielomianem stopnia $n,$ wówczas $Qf$ jest albo wielomianem stopnia $n-1$ albo, w przypadku $n=0,$ $Qf$ jest równy $0.$

Czasami operator delta jest definiowany jako wariant operatora równoważnego operatorowi przesunięcia w zmiennej $x,$ która przekształca $x$ do stałej niezerowej. Można pokazać, że taka charakterystyka, wyraźnie słabsza niż definicja dana powyżej, jest jej równoważna, jako że wariantowość operatora równoważnego operatorowi przesunięcia stanowi silny warunek.

Przykłady

• Operator różnicowy w przód

$(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)$

jest operatorem delta.

• Różniczkowanie względem $x,$ zapisywane jako $D,$ także jest operatorem delta.
• Każdy operator w formie

$\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k},$

gdzie ($D^{n}(f)=f^{(n)}$ jest n-tą pochodną) z $c_{1}\neq 0$ jest operatorem delta. Można wykazać, że wszystkie operatory delta można zapisać w tej formie. Na przykład operator różnicowy dany powyżej można rozwinąć do postaci:

$\Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.$

• Uogólniona pochodna przestrzeni czasowej, która unifikuje operator różnicowy w przód z pochodną standardowego rachunku jest operatorem delta.
• W informatyce i cybernetyce termin dyskretnoczasowy operator delta $\delta$ zwykle oznacza operator różnicowy:

$(\delta f)(x)={\frac {f(x+\Delta t)-f(x)}{\Delta t}},$

aproksymację Eulera zwyczajnej pochodnej z dyskretnym czasem próbkowania $\Delta t.$ Przy szybkim próbkowaniu sformułowanie oparte na operatorze delta posiada znaczącą ilość numerycznych zalet w porównaniu do operatora przesunięcia.

Operator delta w teorii sterowania

Posługując się zmienną płaszczyzny z $(z=e^{sT}),$ operator delta można wyrazić jako

$\delta ={\frac {z-1}{T}},$

co korzystając z jednokrokowego operatora przesunięcia, można też zapisać

$\delta ={\frac {q-1}{\Delta }},$

gdzie $q$ to jednokrokowy operator przesunięcia określony zależnością $qx_{k}=x_{k+1},$ a $\Delta$ oznacza okres próbkowania, stąd:

$\delta x_{k}={\frac {(q-1)x_{k}}{\Delta }}={\frac {x_{k+1}-x_{k}}{\Delta }}.$

Operator ten znany był na polu analiz numerycznych jako pierwszy dzielony operator różnicowy. Z powyższego widać, ze operator ten aproksymuje pochodną:

$\delta x_{k}\approx {\frac {dx}{dt}}|_{x=x(k\Delta )}$

i aproksymacja staje się coraz lepsza jak okres próbkowania zmierza do zera. Dlatego, z uwagi na to, że operator $\delta$ ma swój czasowy odpowiednik $\rho ={\frac {d}{dt}},$ modele wyrażone za pomocą operatora $\delta$ są bardzo podobne do modeli wyrażonych za pomocą operatora $\rho ,$ lub zmiennej s (transformaty Laplace’a). Z tego też względu korzystanie z operatora $\delta$ pozwala przy pracy z układami czasu dyskretnego na wykorzystanie wglądu i intuicji znanych z układów dziedziny czasu ciągłego.

Chociaż $\rho$ używa się do reprezentowania różniczkowania w dziedzinie czasu ciągłego, może też reprezentować operator $\delta .$ Każde sformułowanie uzyskane z wykorzystaniem wyrazeń $\rho$ może zostać zinterpretowane jako wyrażenia czasu dyskretnego poprzez zastąpienie $\rho$ przez $\delta {:}$

$\rho =\left\{{\begin{matrix}{\frac {d}{dt}}&\Delta =0\\\delta &\Delta \neq 0\end{matrix}}\right..$

Powyższa zależność definiuje tak zwaną pochodną uogólnioną. Podobnie można zdefiniować uogólnienie całki Riemanna. Istotnie występuje bliski związek pomiędzy wynikami sformułowanymi dla czasu ciągłego z wynikami formułowanymi dla czasu dyskretnego – używając operatora $\delta$ w dziedzinie czasu dyskretnego, można przyjąć dla niego $\Delta =0$ co daje odpowiadające wyniki czasu ciągłego.

Dla operatora $\delta$ definiuje się też odpowiednik transformaty Fouriera dokonującej przekształcenia opisu do dziedziny częstotliwości jest to tzw. transformata $\Gamma$ z nową zmienną $\gamma$ jako:

$F_{\Delta }(\gamma )=F(z)|_{z=\Delta _{\gamma +1}}=\sum _{k=0}^{k=\infty }f_{k}(1+\Delta \gamma )^{-k}.$

Operator delta posiada też szereg własności pozytywnie wpływających na obliczenia numeryczne. W wielu przypadkach parametryzacja algorytmów czasu dyskretnego za pomocą operatora $\delta$ daje lepsze efekty niż parametryzacja za pomocą jednokrokowego operatora przesunięcia $q.$ Dotyczy to w szczególności:

• przy filtracji cyfrowej: skutków skończonej długości słowa, wrażliwości odpowiedzi częstotliwościowej, efektów zaokrąglania,
• przy optymalnej estymacji stanu: warunkowania równań Riccatiego,
• estymacji parametrów metodą najmniejszych kwadratów: warunkowania macierzy kowariancji.

Operator $\delta$ ma duże znaczenie przy analizie (i syntezie) układów dyskretnych, gdyż jednokrokowy operator przesunięcia i transformata Z, które stanowią podstawę takich analiz są nieodpowiednie dla dużych częstotliwości próbkowania i nie mają odpowiedników czasu ciągłego.

Przy korzystaniu z operatora $\delta$ staje się jasne, że teoria układów czasu dyskretnego zbieżna jest łagodnie do teorii układów ciągłych wraz ze wzrostem częstotliwości próbkowania.

Bibliografia

• Brett M. Ninness, Graham C. Goodwin The Relationship Between Discrete Time and Continuous Time Linear Estimation, [w:] N.K. Sinha i G.P. Rao Identification of Continuous-Time Systems, 1991, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-1336-4.
• Richard H. Middleton, Graham C. Goodwin Digital Control and Estimation. A Unified Approach, 1990, Prentice-Hall International, ISBN 0-13-211798-3.