Operator delta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator delta – pewien wariant operatora równoważny przekształceniu liniowemu w przestrzeni wektorowej wielomianów ze zmienną nad ciałem które redukuje stopnie o jeden.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Stwierdzenie, że jest pewnym wariantem operatora równoważnego operatorowi przesunięcia znaczy, że jeśli to wówczas

Innymi słowy, jeśli jest „przesunięciem” wówczas jest także przesunięciem i ma taki sam „wektor przesunięcia”

Stwierdzenie, że operator redukuje stopień o jeden oznacza, że jeśli jest wielomianem stopnia wówczas jest albo wielomianem stopnia albo, w przypadku jest równy

Czasami operator delta jest definiowany jako wariant operatora równoważnego operatorowi przesunięcia w zmiennej która przekształca do stałej niezerowej. Można pokazać, że taka charakterystyka, wyraźnie słabsza niż definicja dana powyżej, jest jej równoważna jako, że wariantowość operatora równoważnego operatorowi przesunięcia stanowi silny warunek.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

jest operatorem delta.

  • Różniczkowanie względem zapisywane jako także jest operatorem delta.
  • Każdy operator w formie

gdzie ( jest n-tą pochodną) z jest operatorem delta. Można wykazać, że wszystkie operatory delta można zapisać w tej formie. Na przykład operator różnicowy dany powyżej można rozwinąć do postaci:

  • Uogólniona pochodna przestrzeni czasowej, która unifikuje operator różnicowy w przód z pochodną standardowego rachunku jest operatorem delta.
  • W informatyce i cybernetyce termin dyskretnoczasowy operator delta zwykle oznacza operator różnicowy:
aproksymację Eulera zwyczajnej pochodnej z dyskretnym czasem próbkowania Przy szybkim próbkowaniu sformułowanie oparte na operatorze delta posiada znaczącą ilość numerycznych zalet w porównaniu do operatora przesunięcia.

Operator delta w teorii sterowania[edytuj | edytuj kod]

Posługując się zmienną płaszczyzny z operator delta można wyrazić jako

co korzystając z jednokrokowego operatora przesunięcia można też zapisać

gdzie to jednokrokowy operator przesunięcia określony zależnością a oznacza okres próbkowania, stąd:

Operator ten znany był na polu analiz numerycznych jako pierwszy dzielony operator różnicowy. Z powyższego widać, ze operator ten aproksymuje pochodną:

i aproksymacja staje się coraz lepsza jak okres próbkowania zmierza do zera. Dlatego, z uwagi na to, że operator ma swój czasowy odpowiednik modele wyrażone za pomocą operatora są bardzo podobne do modeli wyrażonych za pomocą operatora lub zmiennej s (transformaty Laplace’a). Z tego też względu korzystanie z operatora pozwala przy pracy z układami czasu dyskretnego na wykorzystanie wglądu i intuicji znanych z układów dziedziny czasu ciągłego.

Chociaż używa się do reprezentowania różniczkowania w dziedzinie czasu ciągłego, może też reprezentować operator Każde sformułowanie uzyskane z wykorzystaniem wyrazeń może zostać zinterpretowane jako wyrażenia czasu dyskretnego poprzez zastąpienie przez :

Powyższa zależność definiuje tak zwaną pochodną uogólnioną. Podobnie można zdefiniować uogólnienie całki Riemanna. Istotnie występuje bliski związek pomiędzy wynikami sformułowanymi dla czasu ciągłego z wynikami formułowanymi dla czasu dyskretnego – używając operatora w dziedzinie czasu dyskretnego można przyjąć dla niego co daje odpowiadające wyniki czasu ciągłego.

Dla operatora definiuje się też odpowiednik transformaty Fouriera dokonującej przekształcenia opisu do dziedziny częstotliwości jest to tzw. transformata z nową zmienną jako:

Operator delta posiada też szereg własności pozytywnie wpływających na obliczenia numeryczne. W wielu przypadkach parametryzacja algorytmów czasu dyskretnego za pomocą operatora daje lepsze efekty niż parametryzacja za pomocą jednokrokowego operatora przesunięcia Dotyczy to w szczególności

Operator ma duże znaczenie przy analizie (i syntezie) układów dyskretnych, gdyż jednokrokowy operator przesunięcia i transformata Z, które stanowią podstawę takich analiz są nieodpowiednie dla dużych częstotliwości próbkowania i nie mają odpowiedników czasu ciągłego.

Przy korzystaniu z operatora staje się jasne, że teoria układów czasu dyskretnego zbieżna jest łagodnie do teorii układów ciągłych wraz ze wzrostem częstotliwości próbkowania.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Brett M. Ninness, Graham C. Goodwin The Relationship Between Discrete Time and Continuous Time Linear Estimation, [w:] N.K. Sinha i G.P. Rao Identification of Continuous-Time Systems, 1991, Kluwer Academic Publishers, ​ISBN 0-7923-1336-4​.
  • Richard H. Middleton, Graham C. Goodwin Digital Control and Estimation. A Unified Approach, 1990, Prentice-Hall International, ​ISBN 0-13-211798-3​.