Operator liniowy ograniczony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator nazywa się operatorem liniowym ograniczonym jeżeli:

Operator ograniczony nie jest w ogólności funkcją ograniczoną; wymagałoby to by norma była mniejsza od pewnej liczby dla wszystkich wektorów , tj.

co zachodzi jedynie, gdy operator jest funkcją ograniczoną, np.

Operator liniowy ograniczony jest jednak zawsze funkcją lokalnie ograniczoną, co oznacza, że dla każdego wektora istnieje otoczenie, w którym wartości operatora są liczbami skończonymi,

gdzie należy do otoczenia wektora

Normą operatora nazywa się najmniejszą liczbę spełniającą warunek podany w definicji tego operatora.

Warunki równoważne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli są przestrzeniami unormowanymi, to dla operatora następujące warunki są równoważne:

  1. jest operatorem ograniczonym,
  2. jest operatorem jednostajnie ciągłym,
  3. jest operatorem ciągłym,
  4. jest operatorem ciągłym w zerze.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Operatory ograniczone[edytuj | edytuj kod]

(1) Operator jednostkowy ograniczony, tj.

Jeżeli oraz i to normą operatora jest liczba , gdyż dla wszystkich spełniony jest warunek

(2) Operator skończenie wymiarowy, tj. działający między przestrzeniami skończenie wymiarowymi jest ograniczony; operator ten może być reprezentowany przez macierz, a jego działanie na wektor wyrażone jako mnożenie wektora – zapisanego w postaci kolumny – przez tę macierz.

(3) Operator zwarty jest ograniczony.

Operatory nieograniczone[edytuj | edytuj kod]

(1) Operator liczby cząstek dla bozonów nie jest operatorem ograniczonym, gdyż liczba bozonów może być dowolnie duża.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1 Operator liniowy pomiędzy przestrzeniami unormowanymi jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągły (lub z powodu liniowości – jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły w zerze).

Tw. 2 Przestrzeń liniowa ℬ(X, Y) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z do , wyposażona w normę operatorową jest przestrzenią unormowaną, która jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią Banacha.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]