Operator liniowy ograniczony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator nazywa się operatorem liniowym ograniczonym jeżeli:

Operator ograniczony nie jest w ogólności funkcją ograniczoną; wymagałoby to by norma była mniejsza od pewnej liczby dla wszystkich wektorów tj.

co zachodzi jedynie, gdy operator jest funkcją ograniczoną, np.

Operator liniowy ograniczony jest jednak zawsze funkcją lokalnie ograniczoną, co oznacza, że dla każdego wektora istnieje otoczenie, w którym wartości operatora są liczbami skończonymi,

gdzie należy do otoczenia wektora

Normą operatora nazywa się najmniejszą liczbę spełniającą warunek podany w definicji tego operatora.

Warunki równoważne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli są przestrzeniami unormowanymi, to dla operatora następujące warunki są równoważne:

  1. jest operatorem ograniczonym,
  2. jest operatorem jednostajnie ciągłym,
  3. jest operatorem ciągłym,
  4. jest operatorem ciągłym w zerze.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Operatory ograniczone[edytuj | edytuj kod]

(1) Operator jednostkowy ograniczony, tj.

Jeżeli oraz i to normą operatora jest liczba gdyż dla wszystkich spełniony jest warunek

(2) Operator skończenie wymiarowy, tj. działający między przestrzeniami skończenie wymiarowymi jest ograniczony; operator ten może być reprezentowany przez macierz, a jego działanie na wektor wyrażone jako mnożenie wektora – zapisanego w postaci kolumny – przez tę macierz.

(3) Operator zwarty jest ograniczony.

Operatory nieograniczone[edytuj | edytuj kod]

(1) Operator liczby cząstek dla bozonów nie jest operatorem ograniczonym, gdyż liczba bozonów może być dowolnie duża.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1. Operator liniowy pomiędzy przestrzeniami unormowanymi jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągły (lub z powodu liniowości – jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły w zerze).

Tw. 2. Przestrzeń liniowa ℬ(X, Y) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z do wyposażona w normę operatorową jest przestrzenią unormowaną, która jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią Banacha.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]