Operator sprzężony (przestrzenie Banacha)

Operator sprzężony – dla danego operatora liniowego i ograniczonego $T\colon E\to F,$ działającego między przestrzeniami Banacha $E$ i $F,$ operator liniowy

$T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}$

dany wzorem

$T^{*}f=f\circ T\;\;\;(f\in F^{*}),$

tj. operator spełniający warunek

$\langle T^{*}f,x\rangle =\langle f,Tx\rangle \quad (x\in E,f\in F^{*})$

(symbol $E^{*}$ oznacza przestrzeń sprzężoną do $E,$ a symbol $\langle f,x\rangle$ oznacza wartość funkcjonału $f$ w punkcie $x,$ tj. $f(x)$).

Własności

• Operator sprzężony $T^{*}$ jest ograniczony oraz

$\|T\|=\|T^{*}\|.$

Rzeczywiście,

${\begin{aligned}\|T^{*}f\|&=\sup\{\langle T^{*}f,x\rangle \colon x\in E,\|x\|=1\}\\&=\sup\{\langle f,Tx\rangle \colon x\in E,\|x\|=1\}\\&\leqslant \sup\{\|f\|\cdot \|Tx\|\colon x\in E,\|x\|=1\}\\&=\|f\|\cdot \|T\|,\end{aligned}}$

skąd $\|T^{*}\|\leqslant \|T\|.$ Niech $x\in E$ będzie elementem o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie takiego elementu $f\in F^{*}$ o normie 1, że $\|Tx\|=\langle f,Tx\rangle$ a stąd

$\|Tx\|=\langle T^{*}f,x\rangle \leqslant \|T^{*}f\|\cdot \|x\|\leqslant \|T^{*}\|.$

Nierówność $\|T\|\leqslant \|T^{*}\|$ wynika z możliwości przejścia do supremum w powyższej nierówności po wszystkich $x\in E$ o normie 1.

• Jądro operatora sprzężonego jest domknięte w topologii *-słabej przestrzeni $F^{*}$. Istotnie, jeżeli $T\colon E\to F$ jest operatorem ograniczonym oraz $(f_{i})$ jest ciągiem uogólnionym w ker $T^{*},$ który jest zbieżny do pewnego $f\in F^{*}$ w topologii *-słabej, to dla każdego $x\in E$ zachodzi

$0=\langle T^{*}f_{i},x\rangle =\langle f_{i},Tx\rangle \to \langle f,Tx\rangle =\langle T^{*}f,x\rangle ,$

tj. $T^{*}f=0,$ czyli $f\in \ker T^{*}.$ W szczególności, każdy operator sprzężony $T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}$ jest ciągły względem *-słabych topologii $F^{*}$ i $E^{*},$ odpowiednio.

• Obraz operatora $T$ jest gęsty w $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{*}$ jest iniektywny.
• Dla danego operatora ograniczonego $T\colon E\to F$ następujące warunki są równoważne:

1. obraz $T$ jest domknięty w $F;$
2. obraz $T^{*}$ jest domknięty w $E^{*};$
3. obraz $T^{*}$ jest domknięty w $E^{*}$ w *-słabej topologii.

Operatory sprzężone do operatorów szczególnych klas

Niech $T$ będzie operatorem ograniczonym, działającym między przestrzeniami Banacha.

• Twierdzenie Schaudera: Operator $T$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{*}$ jest zwarty.
• Twierdzenie Gantmacher: Operator $T$ jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{*}$ jest słabo zwarty.
• Jeżeli $T$ jest ściśle singularny, to $T^{*}$ jest ściśle kosingularny. Jeżeli $T$ jest ściśle kosingularny, to $T^{*}$ jest ściśle singularny.

Bibliografia

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 110–115.