Operator sprzężony (przestrzenie Hilberta)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator sprzężony ( sprzężenie hermitowskie operatora) – operator definiowany w teorii przestrzeni Hilberta następującoː

Jeżeli są przestrzeniami Hilberta oraz jest operatorem liniowym i ograniczonym, takim że

,

to operatorem sprzężonym nazywa się operator liniowy

taki że

gdzie , zaś oznacza iloczyn skalarny określony odpowiednio w przestrzeniach oraz .

Powyższa definicja wypowiedziana słownie mówiː

Operator sprzężony do danego operatora jest to operator taki że następujące liczby są identyczne

(1) , czyli iloczyn skalarny wektora przez wektor powstały w wyniku działania operatora na wektor oraz

(2) , czyli iloczyn skalarny wektora przez wektor powstały w wyniku działania operatora na wektor .

Należy zauważyć, że iloczyn skalarny jest zdefiniowany w przestrzeni , zaś iloczyn skalarny jest zdefiniowany w przestrzeni .

Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że powyższy warunek wyznacza operator jednoznacznie.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech będą przestrzeniami Hilberta oraz niech

będą operatorami liniowymi i ciągłymi.

  • Operator liniowy jest ograniczony (ciągły) oraz
    • ,
    • ,
    • .
  • Jeżeli jest izomorfizmem, to również jest izomorfizmem.
  • .
  • Jeżeli jest suriektywny, to jest iniektywny.
  • Jeżeli jest iniektywny, to obraz operatora jest gęsty w , tzn.
    .
  • Jeżeli jest skalarem, to
    .
  • Jeżeli są skończenie wymiarowe, to operator jest reprezentowany przez macierz . Wówczas, operator sprzężony do reprezentowany jest przez macierz sprzężoną hermitowsko z .

Operator samosprzężony (hermitowski)[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: operator samosprzężony.

Ograniczony operator liniowy nazywany jest samosprzężonym lub hermitowskim, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj.

co jest równoważne stwierdzeniu

[1][2]

W pewnym sensie operatory hermitowskie mają własności analogiczne do liczb rzeczywistych (które są równe swoim sprzężeniom zespolonym).

Operatory hermitowskie tworzą przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych, co oznacza żeː

  • suma operatorów hermitowskich jest operatorem hermitowskim
  • iloczyn operatora hermitowskiego przez liczbę rzeczywistą jest operatorem hermitowskim

Operatory te służą do modelowania obserwabli w mechanice kwantowej z tej racji, że mają rzeczywiste wartości własne (patrz niżej).

Twierdzenie Helligenra-Toeplitza mówi, że każdy operator samosprzężony, określony na całej przestrzeni Hilberta jest ograniczony. W ogólności zachodzi jednak potrzeba zdefiniowania operatorów samosprzężonych nieograniczonych (np. operatory położenia i pędu w mechanice kwantowej). Z konieczności nie są one określone na całej przestrzeni Hilberta, a jedynie na podprzestrzeni .

Operatory samosprzężone w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

W mechanice klasycznej definiuje się różne wielkości fizyczne, które można zmierzyć, np.energię, pęd czy moment pędu. Wielkości te są odpowiednio skalarem, wektorem i pseudowektorem i mogą przyjmować dowolne wartości. Jednak wyniki eksperymentów pokazują, że niekiedy jest inaczej - niekiedy bowiem wielkości mierzalne przyjmują wartości dyskretne.

Dokładniejszego opisu rzeczywistości fizycznej dostarcza mechanika kwantowa, gdzie do opisu wielkości mierzalnych wprowadza się operatory hermitowskie. Operatory te są nazywane obserwablami, gdyż ich wartości własne przedstawiają jedyne wartości liczbowe, jakie można otrzymać w wyniku pomiaru (czyli "obserwacji") danej wielkości fizycznej.

Np. definiuje się operatory pędu, energii, momentu pędu, spinu które są określone na pewnej przestrzeni Hilberta (przy czym postać przestrzeni Hilberta zależy od rodzaju rozpatrywanego układu fizycznego). Jeżeli operatory mają dyskretne widmo wartości własnych, to oznacza, że wartości możliwe do uzyskania w pomiarze także są dyskretne.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]