Operator sprzężony (przestrzenie Hilberta)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator sprzężony (czasami: sprzężenie hermitowskie operatora) – w teorii przestrzeni Hilberta dla danego operatora (liniowego, ograniczonego)

,

gdzie są przestrzeniami Hilberta operator liniowy

spełniający warunek

Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że powyższy warunek wyznacza operator jednoznacznie.

Własności[edytuj]

Niech będą przestrzeniami Hilberta oraz niech

będą operatorami liniowymi i ciągłymi.

  • Operator liniowy jest ograniczony (ciągły) oraz
    • ,
    • ,
    • .
  • Jeżeli jest izomorfizmem, to również jest izomorfizmem.
  • .
  • Jeżeli jest suriektywny, to jest iniektywny.
  • Jeżeli jest iniektywny, to obraz operatora jest gęsty w , tzn.
    .
  • Jeżeli jest skalarem, to
    .
  • Jeżeli są skończenie wymiarowe, to operator jest reprezentowany przez macierz . Wówczas, operator sprzężony do reprezentowany jest przez macierz sprzężoną hermitowsko z .

Operator samosprzężony[edytuj]

 Osobny artykuł: operator samosprzężony.

Operator liniowy nazywany jest samosprzężonym, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. . Twierdzenie Helligenra-Toeplitza mówi, że każdy operator samosprzężony, określony na całej przestrzeni Hlberta jest ograniczony. W ogólności zachodzi potrzeba zdefiniowania operatorów (np. opertatory położenia i pędu w mechanice kwantowej) samosprzężonych nieograniczonych. Z konieczności nie są one określone na całej przestrzeni Hilberta, a jedynie na podprzestrzeni .

Zastosowania[edytuj]

W mechanice kwantowej operatory hermitowskie są używane do reprezentacji wielkości fizycznych i nazywane są obserwablami ("wielkościami, które można obserwować"). Na przykład, pęd i energia w mechanice kwantowej przestają być, odpowiednio, wektorem i skalarem jak w teorii klasycznej, a stają się operatorami na pewnej przestrzeni Hilberta.