Operator zwarty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte[1]. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony.

Dla operatora liniowego przekształcającego przestrzeń Banacha w następujące warunki równoważne i bywają obierane za definicję operatora zwartego przez różnych autorów[1].

  1. domknięcie obrazu jest zwarte w dla każdego zbioru ograniczonego w (tj. jest zwarty według wprowadzonej wyżej definicji),
  2. domknięcie obrazu jest zwarte w gdzie oznacza kulę jednostkową w
  3. obraz jest całkowicie ograniczony w dla każdego zbioru ograniczonego w
  4. dla każdego ograniczonego ciągu punktów przestrzeni ciąg zawiera podciąg zbieżny[2].

Podstawowe fakty[edytuj | edytuj kod]

Dalej, oznaczają ustalone przestrzenie Banacha.

  • Każdy operator zwarty jest ograniczony (z uwagi na całkowitą ograniczoność obrazu kuli jednostkowej dziedziny operatora), a więc ciągły.
  • Z lematu Riesza wynika, że operator identycznościowy na jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest skończenie wymiarowa.
  • Operator zwarty ma domknięty obraz wtedy i tylko wtedy gdy obraz ten jest skończenie wymiarowy[3]. Rzeczywiście, każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest domknięta, więc jeżeli operator ma skończenie wymiarowy obraz, to obraz ten jest domknięty. W przeciwną stronę, jeżeli jest operatorem zwartym i obraz jest domknięty, to jest on skończenie wymiarowy. Istotnie, domkniętość obrazu implikuje, że on sam jest przestrzenią Banacha. Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, operator jest otwarty. Zakładając, że obraz jest ponadto nieskończenie wymiarowy, otwartość prowadzi to do sprzeczności ze zwartością, ponieważ obraz kuli jednostkowej w poprzez nie może być wówczas warunkowo zwarty w (a więc i także w ).
  • Obraz każdego operatora zwartego jest ośrodkowy[3][4].
  • Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym: operator liniowy jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony jest zwarty.
  • Widmo operatora zwartego na zespolonej przestrzeni Banacha jest co najwyżej przeliczalne i jego jedynym punktem skupienia może być 0[5][6]. Ponadto dla operatorów zwartych zachodzi alternatywa Fredholma[7].

Opis operatorów zwartych poprzez ciągi zbieżne do zera[edytuj | edytuj kod]

Dla danego operatora liniowego między przestrzeniami Banacha następujące warunki są równoważne

1. operator jest zwarty,
2. istnieje taki ciąg zbieżny do 0 w że dla wszelkich zachodzi nierówność
3. istnieje zbieżny do zera ciąg liczb rzeczywistych oraz taki ograniczony ciąg w że dla wszelkich zachodzi nierówność
4. istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni c0, zwarty operator liniowy oraz ograniczony operator liniowy że [8].

Równoważność warunków 1. i 2. została udowodniona w 1971 przez Terzioğlu[9]. Randke wykazał, że warunki 1. i 3. są równoważne[10].

Własności ideałowe[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej przestrzeni Banacha rodzina złożona ze wszystkich operatorów zwartych na tworzy domknięty ideałem dwustronny algebry Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na [11][12].

  • Algebra ilorazowa nazywana jest algebrą Calkina przestrzeni Twierdzenie Calkina mówi, że jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to jest jedynym domkniętym nietrywialnym ideałem [13].
  • Ideał operatorów zwartych jest jedynym ideałem maksymalnym w w przypadku, gdy jest przestrzenią c0 bądź jest przestrzenią ℓp dla Spiros A. Arjiros i Richard Haydon[14] podali przykład przestrzeni Banacha z bazą Schaudera o tej własności, że przestrzeń sprzężona jest izomorficzna z oraz każdy operator ograniczony na jest postaci gdzie jest pewnym skalarem, a jest operatorem zwartym na Innymi słowy, ideał operatorów zwartych jest kowymiaru 1 w

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 2007, s. 41, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
  2. Megginson 1998 ↓, s. 320.
  3. a b Megginson 1998 ↓, s. 321.
  4. Conway 2010 ↓, s. 181.
  5. Kreyszig 1989 ↓, s. 421.
  6. Kreyszig 1989 ↓, s. 432.
  7. Kreyszig 1989 ↓, s. 453–454.
  8. Wong 1992 ↓, s. 250–252.
  9. T. Terzioğlu, A characterization of compact linear mappings, Arch. Math. 22 (1971), 76–78.
  10. D. Randtke, Characterizations of precompact maps, Schwanz spaces and nuclear spaces, Trans. Amer. Math. 165 (1972), 87–101.
  11. Conway 2010 ↓, s. 178.
  12. Megginson 1998 ↓, s. 322.
  13. J.W. Calkin. Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space. „Annals of Mathematics”. 42 (4), s. 839–873, Oct. 1941. DOI: 10.2307/1968771. JSTOR: 1968771. 
  14. S.A. Argyros, R.G. Haydon. A hereditarily indecomposable -space that solves the scalar-plus-compact problem. „Acta Mathematica”. 206 (1), s. 1–54, 2011. DOI: 10.1007/s11511-011-0058-y. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
  • Erwin Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. New York, Basel, Hong-Kong: CRC Press, 1992, seria: Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 978-0-8247-8779-0.