Opisowa teoria mnogości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa[1] oraz Aleksandra Kechrisa[2]. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego[3], a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego[4].

Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich[edytuj]

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire'a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej - każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire'a . Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire'a (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech X będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory X

Przez indukcję po liczbach porządkowych definiujemy rodziny , oraz podzbiorów przestrzeni X:

  • jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów X, , to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy , czyli jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów X.
  • Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już dla . Określamy:
jest rodziną wszystkich zbiorów postaci , gdzie (dla wszystkich n),
jest rodziną wszystkich zbiorów takich, że ,
.

Elementy rodziny nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni .

Rzutowe podzbiory X

Przez indukcję po liczbach naturalnych klasy oraz :

  • jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego mamy ,
  • jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że ,
  • jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego mamy ,
  • jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że .

Definiujemy również .

Elementy rodziny nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni .

Wybrane własności klas punktowych[edytuj]

Niech X będzie przestrzenią polską.

  • Zachodzą następujące inkluzje (gdzie "" jest reprezentowane przez strzałkę ""):

   dla wszystkich oraz

  • Jeśli przestrzeń X jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
  • jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X. Jest to σ-ciało podzbiorów X.
  • Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
  • Każdy zbiór klasy jest sumą zbiorów borelowskich.
  • Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli są przestrzeniami polskimi oraz , to można wybrać zbiór zawarty w i taki, że dla wszystkich
.

(Powyżej kwantyfikator oznacza istnieje dokładnie jeden).

Regularność klas punktowych[edytuj]

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue'a, własności Baire'a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

  • wszystkie zbiory klasy mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a,
  • każdy zbiór klasy jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
  • każdy podzbiór przestrzeni nieskończonych podzbiorów ma własność Ramseya,
  • jeśli wszystkie zbiory klasy są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy mają własność Baire'a,
  • jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
  • jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to istnieje podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy , który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[5].

Definiowalne relacje równoważności[edytuj]

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi)[6].

Definicje[edytuj]

Niech będą przestrzeniami polskimi.

  • Relacja E na przestrzeni X jest borelowska (analityczna, itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym, itd) podzbiorem przestrzeni .
  • Przypuśćmy, że E jest relacją równoważności na X, a F jest relacją równoważności na Y. Powiemy, że relacja E jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkkcja borelowska taka, że
.
W powyższej sytuacji piszemy .
Relacja borelowskiej redukcji jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli , to mamy "świadka" na nierówność , który może być "podniesiony" do borelowskiego odwzorowanika z X do Y.
  • Jeśli oraz , to powiemy, że przestrzenie ilorazowe i mają tę samą moc borelowską . Piszemy wówczas .

Podstawowe własności[edytuj]

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

wtedy i tylko wtedy, gdy różnica jest liczbą wymierną.
  • (tzn, , ale ).
  • Jeśli E jest relacją równoważności klasy , to
albo lub
  • Jeśli E jest borelowską relacją równoważności, to
albo lub
  • Dla każdej borelowskiej relacji równoważności E istnieje borelowska relacja równoważności F taka, że .
  • Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element -największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami -nieporównywalnych relacji.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Yiannis N Moschovakis: Descriptive set theory. Amsterdam-New York: North-Holland Publishing Co., 1980, seria: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 100. ISBN 0-444-85305-7.
  2. Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.
  3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Monografie Matematyczne, 27.
  4. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: 1978.
  5. Tomek Bartoszyński, Haim Judah: Set theory. On the structure of the real line. Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 1995. ISBN 1-56881-044-X.
  6. Alexander S Kechris. New directions in descriptive set theory. „Bull. Symbolic Logic”. 5, s. 161-174, 1999.