Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ortogonalizacja Grama-Schmidta – przekształcenie układu liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w układ wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe rozpinane przez układy przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.

Opisana w tym artykule metoda nazwana została na cześć Jørgena Grama, matematyka duńskiego oraz Erharda Schmidta, matematyka niemieckiego.

Proces ortogonalizacji[edytuj]

Operator rzutowania ortogonalnego wektora na wektor definiujemy jako:

Wówczas dla układu k wektorów proces przebiega następująco:

Dwa pierwsze kroki procesu ortogonalizacji

czyli wektor to wektor po odjęciu od niego rzutu wektora na podprzestrzeń rozpiętą przez wektory . Otrzymany zbiór jest zbiorem wektorów ortogonalnych.

Aby zbudować w ten sposób zbiór ortonormalny, każdy wektor należy podzielić przez jego normę:

Proces ortogonalizacji pozwala na wskazanie bazy ortogonalnej w dowolnej przestrzeni unitarnej (niekoniecznie skończenie wymiarowej).

Własności numeryczne tego algorytmu nie są zbyt dobre i uzyskane wektory nadal nie są ortogonalne (za sprawą błędów zaokrągleń), toteż w praktyce powtarza się proces dokonując reortogonalizacji.

Dowód ortogonalności otrzymanej bazy[edytuj]

Dowód ortogonalności tak otrzymanego układu opiera się na indukcji.

Niech jest układem wektorów uzyskanym w procesie ortogonalizacji Grama-Schmidta z bazy . Załóżmy, że wektory są wzajemnie prostopadłe, czyli spełniają dla wszystkich oraz dla .

Pokażemy, że wektor otrzymany z algorytmu ortogonalizacji Grama-Schmidta jest prostopadły z dowolnym wektorem , gdzie .

Mnożąc skalarnie i i korzystając z własności iloczynu skalarnego (rozdzielności iloczynu względem sumy, przemienności i zgodności z mnożeniem przez skalar) otrzymujemy:

Na mocy założenia indukcyjnego w ostatniej sumie wszystkie składniki o indeksie są zerowe, więc:

co oznacza, że wektor jest prostopadły z każdym innym wektorem

Wektor jest kombinacją liniową wektorów . Z kolei jest kombinacją liniową wektorów . Analogicznie dla wektora i tak dalej. Ostatecznie wektor jest kombinacją liniową wektorów a dokładniej

.

Gdyby , to układ wbrew założeniom byłby liniowo zależny, bo nie wszystkie współczynniki liczbowe kombinacji są zerowe.


Ponieważ ortogonalny układ wektorów jest liniowo niezależny, a każdy z wektorów jest kombinacją liniową elementów z bazy , więc tak wyznaczone wektory istotnie są bazą.

Przykłady[edytuj]

Przestrzeń R²[edytuj]

Rozważmy zbiór wektorów w R2 (ze standardowym iloczynem skalarnym):

Teraz przeprowadzamy ortogonalizację, aby otrzymać wektory parami prostopadłe:

Sprawdzamy, że wektory u1 i u2 rzeczywiście są prostopadłe:

ponieważ jeśli dwa wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi 0.

Następnie normalizujemy wektory, dzieląc każdy przez ich normy:

Przestrzeń wielomianów[edytuj]

W przestrzeni wielomianów wielomiany postaci stanowią bazę. Iloczyn skalarny w tej przestrzeni można wprowadzić np. w ten sposób:

Przeprowadzając proces ortogonalizacji układu dostaniemy układ ortogonalny Są to z dokładnością do czynnika wielomiany Legendre'a:

Po znormalizowaniu powstanie układ


Bibliografia[edytuj]

  • Mostowski A., Stark, M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1958, wydanie czwarte, ss. 140-142
  • Gleichgewicht B., Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1976, ss. 184-186

Zobacz też[edytuj]