Ortonormalność

Ortonormalność – ortogonalność wraz z dodanym warunkiem unormowania, tzn. wymagania, aby elementy ortogonalne miały długość jednostkową (były wersorami). Jest to podstawowa własność wektorów bazy ortonormalnej danej przestrzeni unitarnej.

Definicja

Wektory $x,y$$x, y$ przestrzeni unitarnej $X$$X$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle$$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ są ortonormalne, jeżeli

$\langle x,y\rangle ={\begin{cases}0,&x\neq y\\1,&x=y\end{cases}}$$\langle x,y\rangle ={\begin{cases}0,&x\neq y\\1,&x=y\end{cases}}$

Zbiór wektorów parami ortonormalnych $\{v_{i}\}_{i=1}^{n}$$\{v_{i}\}_{i=1}^{n}$ nazywa się układem ortonormalnym, wtedy też

$\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}$$\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}$,

gdzie ostatni symbol nazywa się czasami deltą Kroneckera.

Ortonormalizacja

Jeżeli dany jest układ wektorów ortogonalnych $\{v_{i}\}_{i=1}^{n}$$\{v_{i}\}_{i=1}^{n}$, to można go przekształcić do układu ortonormalnego $\{w_{i}\}_{i=1}^{n}$$\{w_{i}\}_{i=1}^{n}$ za pomocą transformacji

$w_{i}={\frac {v_{i}}{\sqrt {\langle v_{i},v_{i}\rangle }}}={\frac {v_{i}}{\|v_{i}\|}}$$w_{i}={\frac {v_{i}}{\sqrt {\langle v_{i},v_{i}\rangle }}}={\frac {v_{i}}{\|v_{i}\|}}$.

Powyższa operacja nazywana bywa również unormowaniem ortogonalnego układu wektorów.

Funkcje ortonormalne

Podobnie jak dla funkcji ortogonalnych rozpatruje się również abstrakcyjne przestrzenie unitarne wielomianów, czy dowolnych funkcji, gdzie mówi się o wielomianach ortonormalnych i funkcjach ortonormalnych.