Półpierścień

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Półpierścieństruktura algebraiczna podobna do pierścienia, która jednak nie musi być grupą względem dodawania. Oznacza to, że elementy półpierścienia nie muszą mieć elementu przeciwnego do siebie.

Definicja[edytuj]

Półpierścień jest to zbiór R z ustalonymi działaniami + i · nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi:

  1. jest półgrupą przemienną z elementem neutralnym 0:
  2. jest półgrupą z elementem neutralnym 1:
  3. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
  4. Mnożenie elementów R przez 0 daje 0:

Ostatni z powyższych aksjomatów jest pomijany w definicji pierścienia, ponieważ wynika z wcześniejszych aksjomatów pierścienia. Tutaj jednak jest on niezbędny.

Półpierścień jest więc przemienną półgrupą względem dodawanie i niekoniecznie przemienną półgrupą względem mnożenia. W szczególności elementy w półpierścieniu nie muszą mieć elementów przeciwnych.

Symbol mnożenia ( · ) jest zwykle pomijany w zapisie. Przykładowo: a·b może być zapisane jako ab. Stosowana jest też kolejność wykonywania działań, według której mnożenie ( · ) wykonywane jest przed dodawaniem (+).

Półpierścień przemienny jest to półpierścień, w którym mnożenie jest przemienne. Półpierścień idempotentny jest to półpierścień, w którym dodawanie jest idempotentne (czyli a+a=a).

Bibliografia[edytuj]

  • François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version), Wiley, 1992, ​ISBN 0-471-93609-X
  • Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ​ISBN 0-7923-5786-8