Płaty Béziera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.

Prostokątne płaty powierzchni Béziera[edytuj | edytuj kod]

Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):

Płat jest stopnia względem parametru i stopnia względem parametru

Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia potrzebne jest punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej – to punkt w i-tym wierszu i j-tej kolumnie tej tablicy.

Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli albo ).

Łamana, której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie nazywana jest wierszem, o stałym indeksie kolumną.

Płat Beziera

Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:

dla

gdzie:

wielomiany bazowe Bernsteina.

W praktyce obliczenie punktu przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:

Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru (). Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru () znajduje się szukany punkt.

Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.

Trójkątne płaty Béziera[edytuj | edytuj kod]

Bezier triangle.png

Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych

Zmienne przy założeniu, że () są współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie – te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty

Punkt płata trójkątnego stopnia dany jest wzorem:

gdzie oraz

Sumowanie przebiega po wszystkich spełniających warunek

Do określenia płata stopnia potrzebne jest punktów kontrolnych.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.

Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.