Płaty Béziera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.

Prostokątne płaty powierzchni Béziera[edytuj]

Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):

Płat jest stopnia względem parametru i stopnia względem parametru .

Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia potrzebne jest punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej – to punkt w i-tym wierszu i j-tej kolumnie tej tablicy.

Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli - , albo - ).

Łamana, której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie nazywana jest wierszem, o stałym indeksie kolumną.

Płat Beziera

Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:

dla

, - wielomiany bazowe Bernsteina

W praktyce obliczenie punktu przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:

Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru (). Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru () znajduje się szukany punkt.

Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.

Trójkątne płaty Béziera[edytuj]

Bezier triangle.png

Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń . Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych .

Zmienne , , przy założeniu, że () są współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie - te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty , , .

Punkt płata trójkątnego stopnia dany jest wzorem:

, gdzie , oraz

Sumowanie przebiega po wszystkich , , spełniających warunek .

Do określenia płata stopnia potrzebne jest punktów kontrolnych.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.

Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.