p-grupa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

p-grupa (także grupa pierwsza, grupa p-pierwsza) – grupa, której rząd jest postaci , gdzie jest liczbą pierwszą a jest dodatnią liczbą całkowitą.

Konkretne wartości podstawia się do nazwy, np. dla mówi się o 11-grupie.

Podgrupę grupy nazywa się p-podgrupą, jeżeli jest ona p-grupą. Podgrupę grupy skończonego rzędu nazywa się p-podgrupą Sylowa, jeśli jest największego możliwego rzędu. Z twierdzenia Sylowa wynika, że jeśli , gdzie , to .

Własności[edytuj]

  • Niech będzie grupą skończoną oraz , gdzie są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli nie zawiera elementu rzędu , to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń:
  1. p-podgrupy Sylowa lub q-podgrupy Sylowa grupy abelowe.
  2. oraz lub , gdzie jest grupą monstrum.

Twierdzenie o centrum p-grupy[edytuj]

Centrum p-grupy jest nietrywialne, to znaczy, że , gdzie e jest elementem neutralnym p-grupy (jak wiadomo, ).

Dowód. Niech G będzie p-grupą, tj. |G| = pk dla pewnej liczby k oraz niech funkcja

dane wzorem

.

Odwzorowanie jest działaniem grupy G na sobie (czyli na zbiorze G)

Ponieważ

,

więc orbita G(x) elementu x jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem centrum Z(G).

Jeśli orbita p-grupy G ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez p:

Istotnie, stabilizator jest wtedy pogrupą G i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z twierdzenia Lagrange'a), czyli , gdzie n < k (bo gdyby n = k, to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas

gdzie t = k - n > 0, czyli p | |G(x)|.

G jest sumą wszystkich orbit, więc:

Stąd

dla pewnego s. Stąd , ale bo , więc .

Bibliografia[edytuj]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005;
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4;
  • G. Malle, A. Moret'o, G. Navarro, Element orders and Sylow structure of finite groups., Math. Z. 252, No.1, 223-230 (2006); ISSN 0025-5874, ISSN 1432-1823.

Zobacz też[edytuj]