p-grupa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

-grupa (także grupa pierwsza, grupa -pierwsza) – grupa, której rząd jest postaci gdzie jest liczbą pierwszą a jest dodatnią liczbą całkowitą.

Konkretne wartości podstawia się do nazwy, np. dla mówi się o 11-grupie.

Podgrupę grupy nazywa się -podgrupą, jeżeli jest ona -grupą. Podgrupę grupy skończonego rzędu nazywa się -podgrupą Sylowa, jeśli jest największego możliwego rzędu. Z twierdzenia Sylowa wynika, że jeśli gdzie to

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie grupą skończoną oraz gdzie są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli nie zawiera elementu rzędu to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń:
  1. -podgrupy Sylowa lub -podgrupy Sylowa grupy abelowe.
  2. oraz lub gdzie jest grupą monstrum.

Twierdzenie o centrum p-grupy[edytuj | edytuj kod]

Centrum -grupy jest nietrywialne, to znaczy, że gdzie jest elementem neutralnym -grupy (jak wiadomo, ).

Dowód. Niech będzie -grupą, tj. dla pewnej liczby oraz niech funkcja

dane wzorem

Odwzorowanie jest działaniem grupy na sobie (czyli na zbiorze ).

Ponieważ

więc orbita elementu jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem centrum

Jeśli orbita -grupy ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez

Istotnie, stabilizator jest wtedy pogrupą i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z twierdzenia Lagrange’a), czyli gdzie (bo gdyby to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas

gdzie czyli

jest sumą wszystkich orbit, więc:

Stąd

dla pewnego s. Stąd ale bo więc

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ​ISBN 83-904564-9-4​.
  • G. Malle, A. Moret’o, G. Navarro, Element orders and Sylow structure of finite groups, Math. Z. 252, No.1, 223-230 (2006); ISSN 0025-5874, ISSN 1432-1823.