Paczka trojańska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ruch paczki trojańskiej - Gęstość prawdopodobieństwa elektronu w czasie

Paczka trojańska lub trojańska paczka falowa (ang. Trojan wave packet lub Trojan Wavepackets) – w mechanice kwantowej stan stacjonarny hamiltonianu Starka-Zeemana, który jest również pakietem falowym w układzie współrzędnych nie poruszającym się względem obserwatora. Źródło silnego promieniowania cyklotronowego o częstotliwości optycznej lub mikrofalowej.

Paczka trojańska jest generowana podczas wzbudzania rozrzedzonego gazu wodorowego w silnym polu lasera lub mikrofal. Obserwacja paczki trojańskiej wiąże się z obserwacją przewidywań atomu Bohra w laboratorium fizycznym. Jest ona także przykładem poprawności twierdzenia Ehrenfesta, wyjaśniającego tzw. zasadę korespondencji pomiędzy mechaniką klasyczną i kwantową tzn. dlaczego normalnie niewidzialna mechanika kwantowa posiada granicę klasyczną postrzeganą na co dzień. Paczka trojańska została po raz pierwszy zaobserwowana w eksperymencie w 2004 na Uniwersytecie Wirginii w USA na wysoce ekscentrycznej orbicie eliptycznej, a w 2009 w oryginalnej konfiguracji na orbicie kołowej poprzez rozszerzanie tej orbity eliptycznej adiabatyczną zmianą polaryzacji mikrofal z liniowej do kołowej.

Paczka trojańska jest również przykładem kwantowego stanu Glaubera lub inaczej stanu koherentnego, dla elektronu, a nie dla pola elektromagnetycznego, za którego odkrycie i znaczenie w teorii światła spójnego przyznano w 2005 roku nagrodę Nobla z fizyki. Ściślej odpowiada ona światłu spójnemu w ściśniętym stanie koherentnym spolaryzowanemu kołowo.

Podstawy modelu[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ paczka trojańska jest przybliżonym stanem własnym hamiltonianu jej poszukiwanie zaczyna się od równania Schrödingera dla atomu wodoru w polu fali spolaryzowanej kołowo w układzie współrzędnych obracającym się z częstością fali

H \Psi= E \tfrac{}{}\Psi,

gdzie

H=\frac{{\mathbf p}}{2}^2-\frac{{1}}{r}-   {\epsilon} x- \omega L_z,

i L_z jest operatorem z-towej składowej momentu pędu.

Dla uproszczenia można ograniczyć się tylko do dwóch wymiarów przestrzennych. Równanie to po pominięciu członów krzywizny laplasjanu i założeniu wolnoznozmienności, a stałości niektórych członów przybiera wtedy we współrzędnych biegunowych uproszczoną, odseparowaną postać

\left[ -\frac {\partial^2}{2 \partial r^2} + \frac {l^2}{2 r^2} -\frac {1}{r}  - {\epsilon} r -\frac {\partial^2}{2 r_0^2 \partial \phi^2}- {\epsilon} r_0 \cos \phi + \epsilon r_0 \right] \chi = E \chi,
\frac {}{} \chi= e^{il \phi }\Psi,   l = \omega^2 r_0

gdzie \hbar=1, m_e=1, a r_0 jest punktem minimum potencjału części hamiltonianu zależnej od współrzędnej radialnej i dlatego promieniem orbity klasycznej. Ponieważ potencjał radialny ma minimum paczka trojańska jest w tej teorii iloczynem dobrze zlokalizowanej radialnej funkcji Gaussa i dobrze zlokalizowanego wzbudzonego stanu wahadła matematycznego, odpowiadającej stanowi wahadła odwróconego do góry będącego funkcją Mathieu o wartości charakterystycznej (i energii) równej w dobrym przybliżeniu r_0 \epsilon. Bardziej dokładna teoria pokazuje, że jest to wahadło o ujemnej masie równej -1/3 masy elektronu i dlatego jest to jego stan podstawowy o takiej samej energii w odwróconym spektrum.

Aby to zauważyć zatrzymajmy jeszcze poprawkę z rozwinięcia członu odśrodkowego

\Delta H = -2 i \frac {l}{r_0^3}\frac {\partial}{\partial \phi}(r-r_0)

i rozważmy jej działanie na składową Fouriera \chi np. e^{ik}.

Dodatkowy potencjał odśrodkowy będzie równy wtedy

\Delta V = 2 i \frac {l}{r_0^3} k (r-r_0)

Wywoła on przesunięcie minimum i obniżenie energii radialnego oscylatora harmonicznego o

\Delta E =  -\frac {2}{r_0^2} k^2

Zastępując z powrotem k^2 operatorem z-towej składowej momentu pędu otrzymujemy

\Delta H = \frac {2 \partial^2}{ r_0^2 \partial \phi^2}

Dodając tą poprawkę w równaniu Schrödingera otrzymujemy równanie z ujemną i ułamkową masą elektronu -1/3 (m_e):

\left[ -\frac {\partial^2}{2 \partial r^2} + \frac {l^2}{2 r^2} -\frac {1}{r}  - {\epsilon} r +\frac {3 \partial^2}{2 r_0^2 \partial \phi^2}- {\epsilon} r_0 \cos \phi + \epsilon r_0 \right] \chi = E \chi,

umożliwiającą gaussowską lokalizacje elektronu w maksimum, a nie w minimum potencjału w kierunku kątowym.

Paczka trojańska w modelu atomu dwupoziomowego[edytuj | edytuj kod]

Ruch paczki trojańskiej - Gęstość prawdopodobieństwa elektronu w czasie dla paczki trojańskiej zlożonej ze stanu podstawowego i pierwszego stanu wzbudzonego atomu wodoru o głównej liczbie kwantowej n=2 i maksymalnym, zgodnym z polaryzacją pola momencie pędu,l=m=1.

Zjawisko paczki trojańskiej można wyjaśnić już w najbardziej znanym w optyce kwantowej przybliżeniu dwóch poziomów kwantowych. Widoczne zarzewie ruchu po orbicie kołowej jest wynikiem interferencji dwóch funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus bedących czynnikiem stanu wzbudzonego. Jej dalsza lokalizacja względem wielkości orbity jest efektem małości odwrotności głównej liczby kwantowej atomu wodoru n, tzn. 1/n. Równanie Schrödingera w bazie dwóch poziomów kwantowych tzn. stanu podstawowego n=1 i pierwszego wzbudzonego n=2=l+1=m+1 przybiera prostą postać macierzową 2 x 2:

\begin{bmatrix} E_1 & {\epsilon}  d\\ {\epsilon}  d & E_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} = E \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}

gdzie

d=  \frac {128}{243}a_0

z rozwiązaniami

|\chi 1 \rangle= (|0,0,0 \rangle + |2,1,1 \rangle)/ \sqrt{2} \frac {}{}
E(1)=E_1+d {\epsilon} \frac {}{}
|\chi 2 \rangle= (|0,0,0 \rangle - |2,1,1 \rangle)/ \sqrt{2} \frac {}{}
E(2)=E_1 -d {\epsilon} \frac {}{}

Stałość elementów diagonalnych macierzy jest wynikiem dokładnego rezonansu z polem tzn. E_2-E_1=\omega. Równanie to ma dwa rozwiązania z których stan o wyższej energii to paczka trojańska a o niższej tzw. paczka antytrojańska. Energie w funkcji pola są liniami prostymi o przeciwnym współczynniku kierunkowym. W odróżnieniu od limitu dużych liczb kwantowych kształt stanu kwantowego nie zależy od wielkości pola tzn. wodór w tych stanach ma stały rotujący moment dipolowy nawet dla pola znikającego podobnie jak w zwykłym statycznym efekcie Starka.

Ponieważ rozwiązanie to jest stacjonarne w układzie współrzędnych obracającym się, a funkcja falowa stanu wzbudzonego n=2 zawiera wykładnik kąta azymutalnego elektronu, wektory Blocha paczki trojańskiej i anty trojańskiej w układzie laboratoryjnym poruszają się z przesunięciem fazowym \pi też po okręgu bedącym równikiem sfery Blocha tzn. dla paczki trojańskiej jego wspołrzędne są

 \begin{matrix} x & = &   \cos \omega t \\ y & = &  \sin \omega t \\ z & = & 0 \end{matrix}

a

 \begin{matrix} x & = &  - \cos \omega t \\ y & = & - \sin \omega t \\ z & = & 0 \end{matrix}

dla paczki antytrojańskiej.

Planetoidy Trojańskie[edytuj | edytuj kod]

Paczka trojańska z punktu widzenia mechaniki klasycznej jest przeskalowaną wersją planetoid trojańskich, kiedy to pole fali elektromagnetycznej odpowiada Jowiszowi, proton wodoru Słońcu, a asteroidy gęstości prawdopodobieństwa elektronu. Z powodu braku krzywizny stałego pola elektrycznego w porównaniu z polem grawitacyjnym dwie grupy asteroid redukują się do jednej paczki.

Paczka Trojańska i Stany Landaua[edytuj | edytuj kod]

Warto zauważyć że podobne paczki falowe można uzyskać w dwóch wymiarach przestrzennych już w samym jednorodnym polu magnetycznym poprzez rozpędzenie tzw. stanu Landaua, stanu własnego elektronu odpowiadającego za kwantowy efekt Halla tak aby poruszał sie on po cyklotronowym okręgu. Najniższy stan Landaua jako stan własny oscylatora harmonicznego o częstości cyklotronowej odpowiada symetrycznemu, zlokalizowanemu stanowi Gaussa.

Ściśle równanie Schrödingera z Hamiltonianem Landaua elektronu w polu magnetycznym B

H=\frac{1}{2m}{p_x}^2+\frac{1}{2m}{p_y}^2-\frac{\omega_c}{2}L_z+\frac{\omega_c^2}{8}(
x^2+y^2),
\omega_c = e B / m.

może być zinterpretowane jako równanie dla oscylatora harmonicznego o częstości \omega_c/2 i w ukladzie obracającym się z częstoscią \omega_c/2 z powodu członu z L_z. Stany koherentne tego oscylatora które są przesuniętym stanem podstawowym i które mogą poruszać się też po okręgu z częstością oscylatora \omega_c/2 są nierozpływającymi się paczkami falowymi w układzie stacjonarnym poruszającymi się z częstością cyklotronową \omega_c:

\Psi(x,y,t)=C(t)e^{i m r_c \omega_c/2\hbar (-x \sin \omega_c t + y \cos \omega_c t )}e^{-\beta^2[(x-r_c  \cos \omega_c t)^2+(y-r_c \sin \omega_c t )^2]/2},
\beta^2=m\omega_c/2\hbar.
Rozpędzony, "Trojański" stan Landaua. Podobnie jak paczka Trojańska stan ten porusza się po orbicie kołowej o promieniu cyklotronowym r_c z częstością cyklotronową \omega_c i może być dowolnie wąsko zlokalizowany względem promienia orbity proporcjonalnie do natężenia pola magnetycznego. W odróżnieniu od paczki Trojańskiej stan ten istnieje tylko w dwóch wymiarach przestrzennych, nie wymaga pola fali spolaryzowanej kołowo oraz jest symetryczny wokoło środka lokalizacji.

Dodanie potencjału kulombowskiego atomu wodoru w środku okręgu spowoduje wtedy dodatkową lokalizację w trzecim wymiarze w kierunku osi z a dodanie pola fali spolaryzowanej kołowo zmieni jeszcze bardziej promień orbity i częstość obiegu. Zgodnie z twierdzeniem Ehrenfesta centrum takiego "Gausonu" będzie poruszać się po orbicie klasycznej po okręgu pod działaniem siły Lorentza, siły Coulomba i siły od rotującego pola. Paczka Trojańska odpowiada wtedy granicy znikającego do zera stałego pola magnetycznego prostopadłego do płaszczyzny ruchu.

Paczka Trojańska i kwantowy efekt Halla[edytuj | edytuj kod]

Paczka Trojanska umożliwia obserwacje efektu analogicznego do kwantowego efekt Halla płynnie zmieniając częstość pola spolaryzowanego kołowo zamiast pola magnetycznego. Ruch pojedynczego elektronu po okręgu można interpretować jako prąd Halla podczas kiedy napięcie pomiędzy jądrem wodoru a elektronem jako wyindukowane napięcie Halla ponieważ jest ono prostopadłe do tego prądu. I rzeczywiście definiując

I=\omega e/ 2 \pi
U={\epsilon} r_0

otrzymamy w punktach dokładnego rezonansu

r_{0n}=n^2 a_0
\omega_n=2 R_{\infty}/n^3 \hbar

kwantowanie oporu przy pomocy oporu podstawowego

R_n=U/I=\epsilon_{sc}\frac{h}{e^2}n^5=\epsilon_{sc}n^5\;25812.807557\; \Omega

gdzie zdefiniowaliśmy bezwymiarowe pole elektryczne jako współczynnik proporcjonalności do pola w odleglości promienia Bohra:

\epsilon=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{e}{a_0^2}\epsilon_{sc}

W odróżnieniu od normalnego kwantowego efektu Halla opór podstawowy jest dowolnie strojony polem.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]