Paradoks Burali-Fortiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Paradoks Burali-Fortiego – twierdzenie odkryte w 1897 przez ucznia Giuseppe Peana, Cesarego Burali-Fortiego[1], mówiące o tym, iż liczby porządkowe nie tworzą zbioru.

Sformułowanie: Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe.

Fakt ten można uzasadnić nie wprost – zakładając, że istnieje zbiór , którego elementami są wszystkie liczby porządkowe, można dojść do sprzeczności. Istotnie, na mocy aksjomatu zastępowania istnieje podzbiór tego zbioru, złożony wyłącznie ze wszystkich liczb porządkowych. Z własności działań na liczbach porządkowych, zbiory

i

są liczbami porządkowymi. Wówczas oraz , a więc , co jest sprzeczne z aksjomatem regularności i jednocześnie kończy dowód.

Przypisy

  1. Cesare Burali-Forti. Una questione sui numeri transfiniti. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”, s. 154–164, 1897. DOI: 10.1007/BF03015911. 

Bibliografia[edytuj]